28．(江安中学)已知两点F₁(-3，0)、F₂(3，0)，且点P使，又向量是单位向量。①求点的轨迹；

②若点Q的坐标为，求数量积的取值范围。

正解：求出，依题，是的两根，判断出，及时所取的极值是极大值还是极小值，再由，求出及极大值和极小值。

时有极值 　　代入得

仅当时有极值，对任意成立

，考察，随的变化表。

27．(江安中学)在中，，D是线段AB的垂直平分线上的一点，D到AB的距离为2，过C的曲线E上任一点P满足为常数。

4)　　　　 建立适当的坐标系，并求出曲线E的方程。

5)　　　　 过点D的直线与曲线E相交于不同的两点M，N，且M点在D，N之间，若，求的取值范围。

正解：①以所在直线分别为X轴，Y轴建立直角坐标系

＝=,动点的轨迹方程为以为焦点的椭圆

②与轴重合，

　　 与轴不重合，令直线的方程为：与曲线的方程联立得，

，∴，

∴，∴，∵,∴,综上≤

误解：由的范围求的范围时注意方法，方法不对，可能就会导致错误结果。

26．(江安中学)如图，已知一次函数与二次函数的图像相交于两点，其中，且，点F(0，b)，

1)　　　　 求的值

2)　　　　 求t关于的函数关系式

3)　　　　 当时，求以原点为中心，F为一个焦点，且过点B的椭圆方程

正解：①由

=＝＝

②,

而是方程的根，

③

，得

为焦点，故半焦距为。

设椭圆方程为，将B点坐标代入方程，解得(舍去)

所求椭圆方程为

误解：①中公式要记清：

②中计算导致错误

25．(蒲中)过点A(1，1)作直线l与双曲线=1交于P₁、P₂两个不同点，若A为P₁P₂中点，求直线l的方程。

解：设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，则2x₁²－y₁²=2，2x₂²－y₂²=2

两式相减得2(x₁+x₂)(x₁－x₂)－(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0，

当x₁≠x₂时，

　 ∴直线l的方程 2x－y－1=0　 将y=2x－1代入得

　 2x²－4x+3=0　 方程无解　 ∴直线不存在

　 当x₁=x₂时，直线方程为x=1，与双曲线仅有一个公共点。综上所述，直线l不存在。

点评：本题易错点一是用“差分法”求出斜率后就给出结论而不去验证导致错误；二是忽视x₁=x₂时情况的讨论。

24．(薛中)已知定点A(3，0)，B(0，3)如果线段AB与抛物线有且仅有一个公共点，试求m的取值范围。

　　 答案：设线段AB上任意一点，可看作线段AB的定比分点，所以　 　，由线段AB与抛物线C有且仅有一个公共点，所以方程有且仅有一个正根，所以 1或　 2

解1得m=3, 解2得m>，综上所述m>或m=3。

错解：直线AB的方程为y=-x+3，因为AB与抛物线C有且仅有一个公共点，所以方程的判别

。

　　 错因：审题不严，显现条件弱用，把求线段AB与抛物线C的交点变成了求直线AB与抛物线C的交点。

23．(薛中)直线与双曲线相交于点A，B，是否存在这样的实数a，使得A，B关于直线对称？如果存在，求出实数a，如果不存在，请说明理由。

　　 答案：设存在实数a，使得A，B关于y=2x对称，又设，，则而由　 作差整理可得：

由，故不存在这样的实数a。

　　 　错解：

　　 错因：没有挖掘隐含条件，而轴对称的第二个条件直线AB与直线垂直，造成解题错误。

22．(薛中)设椭圆方程为，试求满足下列条件的圆方程：1圆心在椭圆的长轴上；2与椭圆的短轴相切；3与椭圆在某点处也相切。

　　 答案：根据题意设圆方程为1，化椭圆方程为2，由12消去y，得：，由圆与椭圆相切：即所求圆的方程为：，另由图可知也合题意。

　　 错解：

　　 错因：漏解

21．(丁中)求经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程。

错解：无，。

错因：把相切作为直线与双曲线有且仅有一个公共点的充要条件。

正 解：当存在时，设所求直线方程为，代入双曲线，

　　　　 得

(1)　　　 当时，直线方程为与双曲线只有一个公共点。

(2)　　　 当时，直线方程为与双曲线只有一个公共点。

(3)　　　 当直线和双曲线相切时，仅有一个公共点，此时有

得，可得直线方程为

　　　　 当不存在时，直线也满足题意。

故经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程有四条，它们分别为：，，，。

20．(丁中)已知双曲线，过点B(1，1)能否作直线，使直线与双曲线交于两点，且B是线段的中点？样的直线若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。

错解：直线为。

错因：忽视了直线与双曲线交于两点的隐含条件。

正解：假设存在直线，设，则有

得

显然

由中点公式得，，

由斜率公式得斜率

又使直线与双曲线交于两点，由得，此方程必有两个不相等的实数根。而此时，方程无实数根，即直线与双曲线无交点，因此直线不存在。

19．(丁中)直线y=kx+1与双曲线3x²－y²=1相交于不同的两点A、B：

(1)求实数k的取值范围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求该圆的直径.

错解：

错因：由可得，忽视，仅考虑

正解：k的取值范围是