Question

如图，已知AC是正方形ABCD的对角线，BE∥AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF．

Answer 1

考点：正方形的性质,含30度角的直角三角形,菱形的判定与性质

专题：

分析：首先过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，易得四边形AOBQ是正方形，四边形ACFE是菱形，在Rt△AOE中，AE=2AO，即可求得∠AEO=30°，继而求得答案．

解答：解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BQ⊥AC
∵BF∥AC，
∴AO∥BQ 且∠QAB=∠QBA=45°
∴AO=BQ=AQ=

1

2

AC，
∵AE=AC，
∴AO=

1

2

AE，
∴∠AEO=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
∵BF∥AC，CF∥AE，
∴∠CFE=∠CAE=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠BCA=45°，
∴∠BCF=180°-∠CBF-∠CFE=180-45-30=105°．

点评：此题考了正方形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．