Question

如图，已知平面直角坐标系中，A，B坐标为A（-1，3），B（-4，2）
（1）若这（0，y）是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求y的值？
（2）设M，N分别为x轴，y轴上一动点，问是否存在这样的点M（m，0），N（0，n）使四边形ABMN的周长最短？并求m，n的值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）AB的长度一定，要使△PAB的周长取最小值，需要满足PA+PB取最小值，利用轴对称的性质确定点P的位置，求出A'B的函数解析式后即可得出点P的坐标，得出y的值；
（2）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=-2，n=2时成立．

解答：解：（1）过点A作关于y轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与y轴的交点即为点P的位置，
∵A（-1，3），
∴点A'的坐标为（1，3），
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则

k+b=3 -4k+b=2

，
解得

k= 1 5 b= 14 5

，
即直线A'B的解析式为y=

1

5

x+

14

5

，
∵点P的坐标为（0，y），且点P在直线A′B上，
∴y=

14

5

．

（2）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，
作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，
∴A′（1，3），B′（-4，-2），
∴直线A′B′的解析式为：y=x+2，
∴M（-2，0），N（0，2）．
m=-2，n=2．
所以当m=-2，n=2时四边形ABMN的周长最短．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式；