【题目】如图,AB是⊙O的直径AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,连接OE,OE交AD于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若,求的值;
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)由角平分线的定义和等腰三角形的性质,得∠EAD=∠ADO,从而得OD∥AE,根据切线的判定定理,即可得到结论;
(2)连接OD,BC交OD于G,由垂径定理得BG=CG,设AC=3k,AB=5k(k≠0),由勾股定理和矩形的性质表示出CE,从而得AE,然后由平行线分线段成比例定理,即可求解.
(1)连接OD,
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,
∴∠BAD=∠EAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠EAD=∠ADO,
∴OD∥AE,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)连接OD,BC交OD于G,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°.
又∵OD∥AE,
∴∠OGB=∠ACB=90°,
∴OD⊥BC,
∴G为BC的中点,即BG=CG,
又∵,
∴设AC=3k,AB=5k(k≠0),根据勾股定理得:BC=═4k,
∴OB=AB=,BG=BC=2k,
∴OG==,
∴DG=OD﹣OG=﹣=k.
又∵四边形CEDG为矩形,
∴CE=DG=k,
∴AE=AC+CE=3k+k=4k,
∵OD∥AE,
∴ .
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【题目】我们知道,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,则三角形可以称为圆的外切三角形.如图1,与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形.如图2,与四边形ABCD的边分别相切于点则四边形叫做的外切四边形.
(1)如图2,试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系,猜想: (横线上填“>”,“<”或“=”);
(2)利用图2证明你的猜想(写出已知,求证,证明过程);
(3)用文字叙述上面证明的结论: ;
(4)若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为,求此四边形各边的长.
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【题目】下列关于函数的四个命题:
①当x=0时,y有最小值12;
②n为任意实数,x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值;
③若n>3,且n是整数,当时,y的整数值有个;
④若函数图象过点和,其中a>0,b>0,则a<b.
其中真命题的序号是( )
A.①B.②C.③D.④
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【题目】如图,已知矩形ABCD的四个顶点都在双曲线y=(k>0)上,BC=2AB,且矩形ABCD的面积是32,则k的值是( )
A.6B.8C.10D.12
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【题目】观察下列等式:
第一个等式:;
第二个等式:;
第三个等式:;
第四个等式:;
按上述规律,回答下列问题:
(1)请写出第六个等式:a6= = ;
(2)用含n的代数式表示第n个等式:an= = ;
(3)a1+a2+a3+a4+a5+a6= (得出最简结果);
(4)计算:a1+a2+…+an.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别相交于点.点是轴上动点,点从点出发向原点O运动,点在点右侧,.过点作于点将沿直线翻折,得到连接.设与重合部分面积为求:
(1)求线段的长(用含的代数式表示);
(2)求关于的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.
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【题目】如图,扇形OAB中,∠AOB=90°,将扇形OAB绕点B逆时针旋转,得到扇形BDC,若点O刚好落在弧AB上的点D处,则的值为( )
A.B.C.D.
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