Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．

（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）BC与⊙O相切，证明见解析；（2）2﹣．

【解析】

（1）连接OD，证明OD//AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；

（2）在直角三角形OBD中，设OF＝OD＝x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．

解：（1）BC与⊙O相切．

证明：连接OD．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD．

又∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA．

∴OD//AC．

∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切．

（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF+BF＝x+2，

根据勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即(x+2)2＝x2+12，

解得：x＝2，即OD＝OF＝2，

∴OB＝2+2＝4，

∵Rt△ODB中，OD＝OB，

∴∠B＝30°，

∴∠DOB＝60°，

∴S扇形DOF＝＝，

则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF＝×2×2﹣＝2﹣．

故阴影部分的面积为2﹣．