Question

已知⊙O与⊙O′内切于点A，⊙O的弦BC与⊙O′切于点D，AB、AC与⊙O′分别交于点E、F，AG、EH为⊙O′直径，BO延长线交GH于点M．
（1）证明：BEHM为平行四边形；
（2）若AF=3，HM=1，求DE的长．

Answer 1

考点：圆的综合题,平行四边形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,圆内接四边形的性质,弦切角定理,相切两圆的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）由⊙O与⊙O′内切于点A可得到点O、O′、A共线，进而可证到∠AEO′=∠EAO′=∠ABO，则有EH∥BM；易证∠AEH=∠AGH=∠O′HG，则有AB∥GH，就可证到BEHM为平行四边形．
（2）过点A作两圆的公切线PQ，连接AD、DF，根据弦切角定理可得∠ABC=∠PAC=∠ADF，由圆内接四边形的性质可得∠BED=∠AFD，从而证到△BED∽△DFA，则有

ED

FA

=

BE

DF

，∠BDE=∠DAF．根据弦切角定理可得∠BDE=∠EAD，从而有∠EAD=∠DAF，进而可得到DE=DF．由BEHM为平行四边形可得BE=MH=1，把FA=3，BE=1，DE=DF代入

ED

FA

=

BE

DF

就可求出ED的长．

解答：（1）证明：∵⊙O与⊙O′内切于点A，
∴点O、O′、A共线．
∵O′A=O′E，OA=OB，
∴∠AEO′=∠EAO′=∠ABO．
∴EH∥BM．
∵O′G=O′H，∴∠O′HG=∠O′GH．
∵∠AEH=∠AGH，∴∠AEH=∠O′HG．
∴AB∥GH．
∴BEHM为平行四边形．

（2）解：过点A作两圆的公切线PQ，连接AD、DF，如图所示．
则根据弦切角定理可得：∠ABC=∠PAC，∠PAF=∠ADF．
∴∠ABC=∠ADF．
由圆内接四边形的性质可得：∠BED=∠AFD．
∴△BED∽△DFA．
∴

ED

FA

=

BE

DF

，∠BDE=∠DAF．
∵BC与⊙O′切于点D，
∴根据弦切角定理可得：∠BDE=∠EAD．
∴∠EAD=∠DAF．
∴

DE

=

DF

．
∴DE=DF．
∵BEHM为平行四边形，∴BE=MH．
∵AF=3，BE=HM=1，
∴

ED

3

=

1

DE

．
解得：DE=

3

．
∴DE的长为

3

．

点评：本题主要考查了相切两圆的性质、弦切角定理、圆周角定理、弧与弦的关系、圆内接四边形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，综合性比较强．而作相切两圆的公切线，并根据弦切角定理得到角等是解决第（2）小题的关键．