精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.

(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;

(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,(1) 中定点的直线L;y=x+ky轴于点D,AB=4,圆心在直线L上的⊙MAB两点,求抛物线和直线的关系式,AB与弧围成的弓形面积.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系、根的判别式、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数解析式的确定、扇形面积的计算方法等

1)若抛物线于x轴有交点,那么当y=0时,所得方程的根的判别式恒大于等于0,可据此进行证明;将抛物线解析式的右边,用十字相乘法进行因式分解,可得:y=mx-5)(x-1),由此可看出抛物线一定经过点(10).

2)由于抛物线交x轴于AB两点,且AB左侧,且AB都在原点的右侧,因此A10),B50),根据A点坐标,可确定直线的解析式,根据AB的坐标,可确定抛物线的解析式;

M同时经过AB两点,根据抛物线和圆的对称性知:点M必为抛物线对称轴与直线的交点,由此可求得点M的坐标为(32),而AB=4,因此ABM是个等腰直角三角形,即可得到的圆心角,那么扇形MAB的面积减去等腰直角三角形MAB的面积即为所求弓形的面积.

(1)证明:∵y=mx2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m="(m-" 5)2.

不论m取任何实数,(m-5)2≥0,△≥0,故抛物线与x轴必有交点.

∵x轴上点的纵坐标均为零,∴y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,

mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,

x=x=1.故抛物线必过x轴上定点(1,0).

(2):如答图所示,

∵L:y=x+k,(1,0)代入上式,

0=1+k,∴k=-1,∴y="x-1."

抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,AB=4,

∵x1x2>0,∴x1="1," x2=5,∴A(1,0),B(5,0),

B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,0=25m-(m+5)×5+5.

∴m=1,∴y=x2-6x+5.

∵M点既在直线L:y=x-1,又在线段AB的垂直平分线上,

M点的横坐标x1+=1+.

x=3代入y=x-1,y=2.

圆心M(3,2),半径r=MA=MB=,

∴MA2=MB2=8.

AB2=42= 16,∴MA2+MB2=AB2,

∴△ABM为直角三角形,∠AMB=90°,

S弓形ACB=S扇形AMB- SABM=.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】用适当的方法解下列方程:

1x2=3x

22x2x6=0

3y2+3=2y

4x2+2x120=0

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】有这样的题目:把方程x2x2化为一元二次方程的一般形式并写出它的二次项系数一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编成下面的两个小题请回答问题:

(1)下面式子中是方程x2x2化为一元二次方程的一般形式的是________(只填写序号)

x2x20 x2x20x22x4x22x40x22x40.

(2)方程x2x2化为一元二次方程的一般形式后它的二次项系数一次项系数和常数项之间具有什么关系?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切按这样的规律进行下去A10B10C10D10E10F10的边长为( )

A B C D

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图①AB是⊙O的直径,且AB10C是⊙O上的动点,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点CADEF,垂足为D.(1)求证:∠DACBAC

(2)AD和⊙O相切于点A,求AD的长;

(3)若把直线EF向上平行移动,如图②EF交⊙OGC两点,题中的其他条件不变,试问这时与∠DAC相等的角是否存在,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知在△ABP中,CBP边上一点,∠PAC=PBA,O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.(1)求证:PA是⊙O的切线;

(2)过点CCFAD,垂足为点F,延长CFAB于点G,若AG·AB=12,求AC的长;(3)在满足(2)的条件下,若AFFD=12,GF=1,求⊙O的半径及sinACE的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).

(1)写出点B的坐标为________

(2)将△ABC向左平移5个单位长度再向下平移3个单位长度画出平移后得到的△A1B1C1并直接写出点A1的坐标为________C1的坐标为________

(3)A1B1C1的面积为________.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,直线y=kx+b(k≠0)与两坐标轴分别交于点B,C,A的坐标为(-2,0)点D的坐标为(1,0)

(1)试确定直线BC的函数关系式.

(2)p(x,y)是直线BC在第一象限内的一个动点,试写出ADP的面积Sx的函数关系式.

(3)P运动到什么位置时,ADP的面积为3?请写出此时点P的坐标,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,EBD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若∠AED=2EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

查看答案和解析>>

同步练习册答案