Question

20．正方形ABCD，点E在AD上，点F为CE的中点，过点F作CE的垂线交AB，CD于点H，G．
（1）求证：HG=CE；
（2）连接EG，作EK⊥EG交AB于点K，连接CK，请你探究∠ECK的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如1中，作HM⊥CD于M，只要证明△ECD≌△GHM即可．
（2）如图2中，作CM⊥EK于M，只要证明∠KEC=∠CED，根据角平分线的性质得CM=CB=CD，再证明∠ECM=∠ECD，∠KCM=∠KCB即可．

解答 （1）证明：如图1中，作HM⊥CD于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠DC=90°，
∵∠B=∠BCM=∠HMC=90°，
∴四边形HBCM是矩形，
∴EM=BC=CD，
∵HG⊥EC，
∴∠CFG=90°，
∴∠GHM+∠HGN=90°，∠HGM+∠FCG=90°，
∴∠GHM=∠ECD，
在△ECD和△GHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠HMG}\\{∠ECD=∠GHM}\\{CD=HM}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△GHM，
∴GH=EC．
（2）结论：∠KCE=45°，
理由：如图2中，作CM⊥EK于M，
∵EF=FC，GH⊥EC，
∴GE=GC，
∴∠GEC=∠ECD，
∵∠KEF+∠GEC=90°，∠ECD+∠CED=90°，
∴∠KEC=∠CED，
∵CM⊥EK，CD⊥ED，
∴CM=CD，∵CB=CD，
∴CB=CM，
∴∠CKB=∠CKM，
∵∠MEC+∠MCE=90°，∠CED+∠ECD=90°，
∴∠ECM=∠ECD，同理∠KCM=∠KCB，
∴$∠KCE=\frac{1}{2}$（∠BCM+∠MCD）=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．