Question

【题目】已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（2，0）．OC＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形PAC面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，△PAC的面积为S，其中S为整数的点P作“好点”，则存在多个“好点”，则所有“好点”的个数为　 　

（4）在（2）的条件下，以PA为边向直线AC右上侧作正方形APHG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点H或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣6；

（2）当x＝﹣时，S的最大值为：；

（3）4；

（4）点P的坐标为：（，﹣5）或（，）．

【解析】

（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求解；

（2）先求出直线AC的解析式，再过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P的横坐标为x，由于△PAC面积S＝PH×OA，且OA易求，只需用含x的代数式表示出PH的长即可利用二次函数的性质求出结果；

（3）根据（2）题的关系式并结合x的范围逐一验证S是否为整数即得答案；

（4）分点G在y轴上和点H在y轴上两种情况，利用正方形的性质构造全等三角形分别求解即可.

解：（1）OC＝3OB＝6，故点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，﹣6），则抛物线为y＝ax2+3ax﹣6，

将点B的坐标代入上式得：0＝4a+6a﹣6，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣6；

（2）y＝x2+x﹣6，令y＝0，则x＝﹣5或2，故点A（﹣5，0），

将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线AC的解析式为：y＝﹣ x﹣6，

过点P作y轴的平行线交AC于点H，

设点P（x，x2+x﹣6），点H（x，﹣x﹣6），

△PAC面积S＝PH×OA＝＝﹣x2﹣x，

∵﹣<0，故S有最大值， 当x＝﹣时，S的最大值为：；

（3）△PAC面积S＝﹣x2﹣x，因为点P是线段AC下方抛物线上的点，所以－5<x<0，

当x＝﹣4时，S＝6；当x＝﹣3时，s＝9；当x＝﹣2时，S=9；当x＝﹣1时，s＝6；

所以“好点”的个数为4，

故答案为4；

（4）如图2左侧图，

①当点G在y轴上时，作PR⊥x轴于点R，

∵∠GAO+∠PAO＝90°，∠PAO+∠APR＝90°，

∴∠APR＝∠GAO，

∵∠AOG＝∠PRA＝90°，AP＝AG，

∴△AOG≌△PRA（AAS），

∴OA＝PR＝5，

故点P的纵坐标为：﹣5，

则y＝x2+x﹣6＝﹣5，解得：x＝（不合题意的值已舍去），

故点P（，﹣5）；

②当点H在y轴上时，图2右侧图，同理可得：点P（，）；

综上，点P的坐标为：（，﹣5）或（，）