【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,M为AD的中点,连接BM,交AC于E,在CB上取一点F,使得CF=AE,连接AF,交BM于G,连接CG.
(1)求∠BGF的度数;
(2)求的值;
(3)求证:BG⊥CG.
【答案】(1)60°;(2) ;(3)证明见解析
【解析】
(1)证明△BAE≌△ACF(SAS),推出∠ABE=∠CAF可得结论.
(2)证明△BAG∽△BMA,推出,推出即可解决问题.
(3)想办法证明△CBG∽△MBC可得结论.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠ADC=60°,
∴△ABC,△ADC都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠ACF=60°,
∵AE=CF,
∴△BAE≌△ACF(SAS),
∴∠ABE=∠CAF,
∴∠BGF=∠ABE+∠BAG=∠CAF+∠BAG=∠BAC=60°.
(2)∵∠BAG+∠ABG=∠ABG+∠CBM=60°,
∴∠BAG=∠CBM,
∵AD∥CB,
∴∠AMB=∠CBM,
∴∠BAG=∠BMA,
∵∠ABG=∠ABM,
∴△BAG∽△BMA,
∴,
∴,
∵AM=MD=AD=AB,
∴.
(3)设AM=DM=x,连接CM,
∵△ACD是等边三角形,
∴CM⊥AD,
∴CM=AM=,
∵AD∥CB,
∴CM⊥BC,
∴∠BCM=90°,
∵AD=BC=2x,
∴BM=,
∵△BAG∽△BMA,
∴,
∴,
∴BG=,
∴,
∵∠CBG=∠CBM,
∴△CBG∽△MBC,
∴∠BGC=∠BCM=90°,
∴BG⊥CG.
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【题目】已知:Rt△ABC,∠C=90°.
(1)点E在BC边上,且△ACE的周长为AC+BC,以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切.请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置;
(2)若BC=8,AC=4,求⊙O的半径.
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【题目】小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
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【题目】如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE点F在AB上,且BF=DE
(1)求证:四边形BDEF是平行四边形
(2)线段AB,BF,AC之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点ABC(顶点是网格线的交点)和格点O.
(1)平移ABC,使得点A与点O重合,画出平移后的A′B′C′;
(2)画出ABC关于点O对称的DEF;
(3)判断A′B′C′与DEF是否成中心对称?
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【题目】如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,点D的对称点F恰好落在BC上,已知折痕AE=cm,且tan∠EFC=,那么该矩形的周长为________.
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【题目】如图,抛物线与轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),直线与抛物线交于两点,其中点的横坐标为2.
(1)求A,B两点的坐标及直线AC的表达式;
(2)P是线段AC上一动点(P与A,C不重合),过点P作轴的平行线交抛物线于点E,求面积的最大值;
(3)点H是抛物线上一动点,在轴上是否存在点F,使得四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在请直接写出所有满足条件的点F坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图.
(1)根据图1,计算该区1500名学生的近视率;
(2)根据图2,从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势;
(3)根据图1、图2、图3,描述该区1500名学生近视率和所在学段(小学、初中)、每节课课间户外活动平均时长的关系.
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【题目】几何探究:
(问题发现)
(1)如图1所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形,BD、CE的关系是_______(选填“相等”或“不相等”);(请直接写出答案)
(类比探究)
(2)如图2所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
(拓展延伸)
(3)如图3所示,△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形,将△ADE绕点A自由旋转,若,当B、D、E三点共线时,直接写出BD的长.
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