Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）若AE=1时，求AP的长；

（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED的长；

如果发生变化，请说明理由.

Answer 1

（2分）（1）解：

∵是等边三角形

∴∠A=60°

∵

∴∠APE=30°………1分

∵AE=1，∠APE=30°,

∴AP=2AE=2………1分

（3分）（2）解：

解法一：过作，

则是等边三角形，

∵同时出发，速度相同，即，

∴………1分

∴………1分                                         

∴，                                                       

∵                              

∴                                     

∴………1分                                                 

解法二：∵同时同速出发，∴                            

设则………1分                       

在中，

∴                                                      

∴即………1分

∴                                                             

∴………1分                                                 

（4分）（3）解：

由（2）知，                                                

而是等边三角形，，………1分

∵                                                         

又                                           

∴………2分                                      

即

∴为定值，即的长不变. ………1分

（其他解法相应给分）