Question

【题目】如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接DP，使∠PDA＝∠ADC．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AC＝3，tan∠PDC＝，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=12.

【解析】

（1）求出∠ODA+∠PDA=∠ADC+∠DAO=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出∠PDC=∠DOC，解直角三角形求出=，设DC=4x，OC=3x，求出3x+3=5x，求出x，即可得出答案．

（1）证明：连接OD

∵OD=OA

∴∠ODA=∠OAD

∵CD⊥AB于点C

∴∠OAD+∠ADC=90°

∴∠ODA+∠ADC= 90°

∵∠PDA=∠ADC

∴∠PDA+∠ODA=90°

即∠PDO=90°

∴PD⊥OD

∵D在⊙O上

∴PD是⊙O的切线

（2）解：∵∠PDO=90°

∴∠PDC+∠CDO=90°

∵CD⊥AB于点C

∴∠DOC+∠CDO=90°

∴∠PDC=∠DOC

=

设DC = 4x，CO = 3x，则OD=5x

∵AC=3

∴OA=3x+3

∴3x+3=5x

∴x=

∴OC=3x=， OD=OB=5x=

∴BC=12