Question

16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动．若△POE为等腰三角形，请写出所有符合要求的点P的坐标（5，0）（-5，0）（8，0）（$\frac{25}{8}$，0）．

Answer 1

分析 根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OD，再利用勾股定理列式求出AD，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，然后分①OE=OP时，求出点P的坐标，②OE=PE时点P和点D重合，③OP=OE时，点P在OE的垂直平分线上，求出OP的长度，然后写出点P的坐标即可．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6，OD=$\frac{1}{2}$BD=×16=8，
∴在Rt△AOD中，AD=10，
∵E为AD中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×10=5，
①当OP=OE时，P点坐标（-5，0）（舍）和（5，0）；
②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；
③如图，

当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P，
∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴OK=4，
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK，
即OP：5=$\frac{5}{2}$：4，
解得：OP=$\frac{25}{8}$，
∴P点坐标为（$\frac{25}{8}$，0）．
综上所述，点P的坐标为（2.5，0）或（-2.5，0）或（4，0）或（$\frac{25}{8}$，0）．
故答案为：（5，0）（-5，0）（8，0）（$\frac{25}{8}$，0）．

点评 本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．