Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线，交CB于点D．
（1）求证：AB=AC+CD；
（2）若AC=3，求BD的长．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）先根据角平分线的性质得出CD=DE，由HL定理得出Rt△ACD与Rt△AD，故AE=AC，再由∠C=90°，AC=BC得出∠B=45°，故可得出△BED是等腰直角三角形，所以DE=BE，故DE=BE=CD，由此可得出结论；
（2）根据∠C=90°，AC=BC，AC=3可知BC=3，设CD=x，则DE=BE=CD=x，BD=3-x，在Rt△BDE中根据勾股定理可求出x的值，进而得出结论．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠B=45°，
在Rt△ACD与Rt△AD中，
∵

CD=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE．
∵∠B=45°，DE⊥AB，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∴DE=BE=CD，
∴AB=AC+CD．

（2）解：∵∠C=90°，AC=BC，AC=3，
∴BC=3，
∵由（1）可知，△BED是等腰直角三角形，DE=BE=CD
∴设CD=x，则DE=BE=CD=x，BD=3-x，
在Rt△BDE中，DE²+BE²=BD²，即x²+x²=（3-x）²，
解得x₁=3

2

-3，x₂=-3

2

-3（舍去），
∴BD=3-x=3-3

2

+3=6-3

2

．

点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．