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【题目】某企业积极响应政府“创新发展”的号召,研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件,且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为:

(1)若企业销售该产品获得的利润为W(万元),请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式;

(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时,企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?

(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元,试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围.

【答案】(1)年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式为

(2)当该产品的售价定为50元/件时,销售该产品的年利润最大,最大利润为800万元;

(3)要使企业销售该产品的年利润不少于750万元,该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.

【解析】(1)根据:年利润=(售价﹣成本)×年销售量,结合x的取值范围可列函数关系式;

(2)将(1)中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况,比较后可得答案;

(3)根据题意知W≥750,可列关于x的不等式,求解可得x的范围.

解:(1)

(2)由(1)知,当40≤x<60时,

∵-2<0,∴当x=50时,W有最大值800.

当60≤x≤70时, .

∵-1<0, ∴当60≤x≤70时,W随x的增大而减小.

∴当x=60时,W有最大值600.

∴当该产品的售价定为50元/件时,销售该产品的年利润最大,最大利润为800万元.

(3)当40≤x<60时,令W=750,得

-2(x-50)2+800=750,解之,得

由函数的性质可知,

当45≤x≤55时,W≥750.

当60≤x≤70时,W最大值为600<750.

所以,要使企业销售该产品的年利润不少于750万元,该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.

“点睛”本题主要考查二次函数的实际应用,梳理题目中的数量关系,得出相等关系后分情况列出函数解析式,熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键.

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