【题目】如图,平行四边形ABCD在平面直角坐标系中,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,且OA>OB.
(1)求的值.
(2)若E为x轴上的点,且S△AOE=,求经过D、E两点的直线的解析式,并判断△AOE与△DAO是否相似?
(3)若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出F点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)y=
x﹣
或y=
x+
,△AOE∽△DAO;(3)存在,满足条件的点有四个:F1(﹣3,0);F2(3,8);F3(﹣
,﹣
);F4(﹣
,
).
【解析】
(1)解一元二次方程求出OA,OB的长度,再利用勾股定理求出AB的长度,再代入计算即可;
(2)先根据三角形的面积求出点E的坐标,并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标,然后利用待定系数法求解直线的解析式;分别求出两三角形夹直角的两对应边的比,如果相等,则两三角形相似,否则不相似;
(3)根据菱形的性质,分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况,以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算.
解:(1)x2﹣7x+12=0,
(x﹣3)(x﹣4)=0,
∴x﹣3=0,x﹣4=0,
解得x1=3,x2=4,
∵OA>OB,
∴OA=4,OB=3,
在△AOB中,AB==
=5,
∴sin∠ABC=;
(2)根据题意,设E(x,0),则
S△AOE=×OA×x=
×4x=
,
解得x=,
∴E(,0)或(﹣
,0),
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点D的坐标是(6,4),
设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b,
则①,
解得 ,
∴解析式为y=x﹣
;
②,
解得,
解析式为: y=x+
在△AOE与△DAO中, ,
,
∴,
又∵∠AOE=∠OAD=90°,
∴△AOE∽△DAO;
(3)根据计算的数据,OB=OC=3,
∴AO平分∠BAC,
①AC、AF是邻边,点F在射线AB上时,AF=AC=5,
所以点F与B重合,
即F(﹣3,0),
②AC、AF是邻边,点F在射线BA上时,M应在直线AD上,且FC垂直平分AM,
点F(3,8).
③AC是对角线时,做AC垂直平分线L,AC解析式为y=﹣x+4,直线L过(
,2),且k值为
(平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1),
L解析式为y=x+
,联立直线L与直线AB求交点,
∴F(﹣,﹣
),
④AF是对角线时,过C做AB垂线,垂足为N,根据等积法求出CN=,勾股定理得出,AN=
,做A关于N的对称点即为F,AF=
,过F做y轴垂线,垂足为G,FG=
,
∴F(﹣,
).
综上所述,满足条件的点有四个:F1(﹣3,0);F2(3,8);F3(﹣,﹣
);F4(﹣
,
).
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【题目】某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元,购进甲商品1件和乙商品2件共需70元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定甲商品以每件20元出售,乙商品以每件50元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共60件,若要保证获利不低于1000元,则甲商品最多能购进多少件?
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【题目】如图①,窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法,褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果.其中,窗宽度的1.5倍为平褶皱,窗宽度的2倍为波浪褶皱.如图②,小莉房间的窗户呈长方形,窗户的宽度(AD)比高度(AB)的少0.5m,某种窗帘的价格为120元/m2.如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元,求小莉房间窗户的宽度与高度.
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【题目】我市红领服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实验商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数,单位:天)的部分对应值如表所示:
时间t(天) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日销售量yt(百件) | 0 | 25 | 40 | 45 | 40 | 25 | 0 |
(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中,选择合适的函数能反映y1与t的变化规律,并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围;
(2)网上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t为整数,单位:天)的关系如图所示.求y2与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件),求y与t的函数关系式;当t为何值时,日销售总量y达到最大,并求出此时的最大值.
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【题目】如图,直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F,点A的坐标为(﹣6,0),P(x,y)是直线y=
x+6上一个动点.
(1)在点P运动过程中,试写出△OPA的面积s与x的函数关系式;
(2)当P运动到什么位置,△OPA的面积为,求出此时点P的坐标;
(3)过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D.是否存在这样的点P,使△COD≌△FOE?若存在,直接写出此时点P的坐标(不要求写解答过程);若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知一次函数y=ax+b(a,b为常数,a≠0)的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,且与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象在第二象限内交于点C,作CD⊥x轴于,若OA=OD=
OB=3.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)观察图象直接写出不等式0<ax+b≤的解集.
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【题目】某商店欲购进 A、B 两种商品,若购进 A 种商品 5 件和 B 种商品 4 件需 300 元;购进 A 种商品 6 件和 B 种商 品 8 件需 440 元.
(1)求 A、B 两种商品每件的进价分别为多少元?
(2)若该商店每销售 1 件 A 种商品可获利 8 元,每销售 1 件 B 种商品可获利 6 元,该商店准备购进 A、B 两种商 品共 50 件,且这两种商品全部售出后总获利超过 344 元,则至少购进多少件 A 商品?
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【题目】某茶叶专卖店经销一种日照绿茶,每千克成本元,据销售人员调查发现,每月的销售量
(千克)与销售单价
(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.
求每月销售量
与销售单价
之间的函数关系式.
若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润
元,试求该月茶叶的销售单价
为多少元.
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