Question

【题目】如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．

（1）求的值．

（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝x﹣或y＝x+，△AOE∽△DAO；（3）存在，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．

【解析】

（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可；

（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；

（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

解：（1）x2﹣7x+12＝0，

（x﹣3）（x﹣4）＝0，

∴x﹣3＝0，x﹣4＝0，

解得x1＝3，x2＝4，

∵OA＞OB，

∴OA＝4，OB＝3，

在△AOB中，AB＝＝＝5，

∴sin∠ABC＝；

（2）根据题意，设E（x，0），则

S△AOE＝×OA×x＝×4x＝，

解得x＝，

∴E（，0）或（﹣，0），

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点D的坐标是（6，4），

设经过D、E两点的直线的解析式为y＝kx+b，

则①，

解得 ，

∴解析式为y＝x﹣；

②，

解得，

解析式为： y＝x+

在△AOE与△DAO中， ，

，

∴，

又∵∠AOE＝∠OAD＝90°，

∴△AOE∽△DAO；

（3）根据计算的数据，OB＝OC＝3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，

所以点F与B重合，

即F（﹣3，0），

②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，

点F（3，8）．

③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y＝﹣x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），

L解析式为y＝x+，联立直线L与直线AB求交点，

∴F（﹣，﹣），

④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN＝，勾股定理得出，AN＝，做A关于N的对称点即为F，AF＝，过F做y轴垂线，垂足为G，FG＝，

∴F（﹣，）．

综上所述，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．