Question

14．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．

解答 解：（1）将A、B点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{4}$x+3；
（2）如图：

设AB的解析式为y=kx+b，将B、A的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
C在直线AB上，C（m，-$\frac{3}{4}$m+3），D（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{4}$m+3）．
CD的长为-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{4}$m+3-（-$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
即d=-$\frac{1}{2}$m²+2m；
（3）AC²=m²+（$\frac{3}{4}$m）²，CD²=（-$\frac{1}{2}$m²+2m）²，AD²=m²+（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{4}$m）²，
①当AC=AD时，m²+（$\frac{3}{4}$m）²=m²+（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{4}$m）²，化简，得
（-$\frac{1}{2}$m²+2m）（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m）=0，
解得m=0（不符合题意，舍），m=4（不符合题意，舍），m=1；
②当AC=CD时，m²+（$\frac{3}{4}$m）²=（-$\frac{1}{2}$m²+2m）²，化简，得
（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{13}{4}$m）（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{4}$m）=0，
解得m=0（不符合题意，舍），m=$\frac{13}{2}$（不符合题意，舍），m=$\frac{3}{2}$；
③当AD=CD时，m²+（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{4}$m）²=（-$\frac{1}{2}$m²+2m）²，
化简，得
-m²（$\frac{3}{4}$m-$\frac{23}{16}$）=0，解得m=$\frac{23}{12}$．
综上所述：m的值为1、$\frac{3}{2}$或$\frac{23}{12}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．