Question

已知：如图，以BC为边在矩形ABCD内作等边三角形OBC，连接DO并延长交AB于点E，连接EC，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若OC⊥DE，则四边形DCFE是怎样的特殊四边形？说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）易证四边形CDEF为平行四边形，可得CF=DE，即可证明RT△ADE≌RT△BCF，即可解题；
（2）作OG⊥BC，易证G是BC中点，即可求得OG∥AB，可得DE=2DO，易求∠OCD=30°，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质可得CD=2DO，即可求得CD=DE，根据邻边相等的平行四边形为菱形即可解题．

解答：证明：（1）∵CF∥DE，CD∥AB，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴CF=DE，
在RT△ADE和RT△BCF中，

AD=BC CF=DE

，
∴RT△ADE≌RT△BCF，（HL）；
（2）作OG⊥BC，

∵△OBC是等边三角形，
∴G是BC中点，
∵AB⊥BC，OG⊥BC，
∴OG∥AB，
∴O是DE中点，即DE=2DO，
∵OC⊥DE，△OBC是等边三角形，
∴∠OCD=30°，
∴CD=2DO，
∴CD=DE，
∴平行四边形CDEF为菱形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了菱形、平行四边形的判定，考查了平行四边形对边相等的性质，本题中求证RT△ADE≌RT△BCF是解题的关键．