Question

如图，在△ABC中，D是边AB的中点，点E在边AC上，DE、BC的延长线交于点F．求证：

BF

CF

=

AE

EC

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作DG∥BC，DH∥AC，可得G是AC中点，H是BC中点，BC=2DG，AC=2AG，根据DG∥BC可得

DG

CF

=

EG

CE

，根据2

DG

CF

+1=2

EG

CE

+1，化简即可解题．

解答：证明：作DG∥BC，DH∥AC，

则△ADG∽△ABC，
∵D是AB中点，
∴G是AC中点，H是BC中点，BC=2DG，AC=2AG，
∵△ADG∽△ABC，
∴

DG

CF

=

EG

CE

，
∴2

DG

CF

=2

EG

CE

，即

BC

CF

=

2EG

EC

，
∴

BC

CF

+1=

2EG

EC

+1，
即

BC+CF

CF

=

EG+EG+EC

EC

，
∵EG+EC=GC=AG，
∴EG+EG+EC=EG+AG=AE，
∴

BC+CF

CF

=

AE

EC

，即

BF

CF

=

AE

EC

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ADG∽△ABC是解题的关键．