【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P(x1,y1)与P2(x2,y2)的“最佳距离”,给出如下定义:
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“最佳距离”为|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“最佳距离”为|y1﹣y2|;
例如:点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1﹣3|<|2﹣5|,所以点P1与点P2的“最佳距离”为|2﹣5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(过点P1平行于x轴的直线与过点P2垂直于x轴的直线交于点Q).
(1)已知点A(﹣,0),B为y轴上的一个动点.
①若点A与点B的“最佳距离”为3,写出满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“最佳距离”的最小值;
(2)如图2,已知点C是直线y=x+3上的一个动点,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“最佳距离”的最小值及相应的点C的坐标.
【答案】(1)B(0,3),(0,﹣3),;(2)
.
【解析】
(1) ①点A与点B的横坐标差的绝对值为,“最佳距离”为3,因此可以A、B纵坐标的差的绝对值为3,从而求出B点坐标的两种情况;
②根据题意得:|﹣﹣0|≥|0﹣y|,求出“最佳距离”的最小值为
(2)设点C(m,m+3),且点D的坐标是(0,1),当|m﹣0|=|
m+3﹣1|=|
m+2|时,点C与点D的“最佳距离”有最小值,从而求出C点坐标.
解:(1)①∵点B为y轴上的一个动点
∴设点B的坐标为(0,y)
∵|﹣﹣0|=
≠3
∴|0﹣y|=3
∴y=±3
∴点B的坐标为(0,3),(0,﹣3)
②设点B的坐标为(0,y),
根据题意得:|﹣﹣0|≥|0﹣y|
∴|y﹣0|≤
∴点A与点B的“最佳距离”的最小值为
(2)∵点C是直线y=x+3上的一个动点,
∴设点C(m,m+3),且点D的坐标是(0,1),
∴当|m﹣0|=|m+3﹣1|=|
m+2|时,点C与点D的“最佳距离”有最小值,
当m≤﹣时,﹣m=﹣
m﹣2
解得:m=10(不合题意舍去)
当﹣<m<0时,﹣m=
m+2
解得:m=﹣
当m>0时,m=m+2
解得:m=10
∴|m|=10或
∴点C与点D的“最佳距离”的最小值为,
∴点C坐标为(﹣,
)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求k、b的值;
(2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集.
(3)若点D在y轴上,且满足S△BCD=2S△BOC,求点D的坐标.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,O)、C(3,0),点B为抛物线顶点,直线BD为抛物线的对称轴,点D在x轴上,连接AB、BC.
⑴如图1,若∠ABC=60°,则点B的坐标为______________;
⑵如图2,若∠ABC=90°,AB与y轴交于点E,连接CE.
①求这条抛物线的解析式;
②点P为第一象限抛物线上一个动点,设△PEC的面积为S,点P的横坐标为m,求S关于m的函数关系武,并求出S的最大值;
③如图3,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD,若存在请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图1为某立交桥示意图(道路宽度忽略不计),A﹣F﹣G﹣J为高架,以O为圆心的圆盘B﹣C﹣D﹣E位于高架下方,其中AB,AF,CH,DI,EJ,GJ为直行道,且AB=CH=DI=EJ,AF=GJ,弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧(立交桥的上下高度差忽略不计),点B,C,D,E是圆盘O的四等分点.某日凌晨,有甲、乙、丙、丁四车均以10m/s的速度由A口驶入立交桥,并从出口驶出,若各车到圆心O的距离y(m)与从A口进入立交后的时间x(s)的对应关系如图2所示,则下列说法错误的是( )
A.甲车在立交桥上共行驶10s
B.从I口出立交的车比从H口出立交的车多行驶30m
C.丙、丁两车均从J口出立交
D.从J口出立交的两辆车在立交桥行驶的路程相差60m
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【题目】某校为了更好的开展“学校特色体育教育”,从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生,组成了一个容量为60的样本,进行各项体育项目的测试,了解他们的身体素质情况.下表是整理样本数据,得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图:某校60名学生体育测试成绩频数分布表
成绩 | 划记 | 频数 | 百分比 |
优秀 | 正正正 | a | 30% |
良好 | 正正正正正正 | 30 | b |
合格 | 正 | 9 | 15% |
不合格 | 3 | 5% | |
合计 | 60 | 60 | 100% |
(说明:40﹣﹣﹣55分为不合格,55﹣﹣﹣70分为合格,70﹣﹣﹣85分为良好,85﹣﹣﹣100分为优秀)请根据以上信息,解答下列问题:
(1)表中的a=_____,b=_____;
(2)请根据频数分布表,画出相应的频数分布直方图;
(3)如果该校八年级共有150名学生,根据以上数据,估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为_____.
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【题目】2018年甲、乙两家科技公司共向国家缴纳利税3800万元.2019年随着团家“减税降费”政策的实施,两家公司的利税将会减轻,2019年甲公司的利税比2018年减少15%,乙公司的利税比2018年减少20%,预计2019两家公司的利税共为3000万元,求两家科技公司2018年的利税各是多少?设2018年甲公司的利税为x万元,乙公司的利税为y方元,根据题意列出关于x,y的方程组为_____.
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【题目】如图所示,已知:点A(0,0),B(,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…,则第
个等边三角形的边长等于__________.
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【题目】新定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.根据准外心的定义,探究如下问题:如图,在RtΔABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,如果准外心P在BC边上,那么PC的长为 ________.
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