Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P（x1，y1）与P2（x2，y2）的“最佳距离”，给出如下定义：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“最佳距离”为|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“最佳距离”为|y1﹣y2|；

例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“最佳距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（过点P1平行于x轴的直线与过点P2垂直于x轴的直线交于点Q）．

（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点．

①若点A与点B的“最佳距离”为3，写出满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“最佳距离”的最小值；

（2）如图2，已知点C是直线y＝x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“最佳距离”的最小值及相应的点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3），（0，﹣3），；（2）.

【解析】

(1) ①点A与点B的横坐标差的绝对值为，“最佳距离”为3，因此可以A、B纵坐标的差的绝对值为3，从而求出B点坐标的两种情况；

②根据题意得：|﹣﹣0|≥|0﹣y|，求出“最佳距离”的最小值为

（2）设点C（m，m+3），且点D的坐标是（0，1），当|m﹣0|＝|m+3﹣1|＝|m+2|时，点C与点D的“最佳距离”有最小值，从而求出C点坐标.

解：（1）①∵点B为y轴上的一个动点

∴设点B的坐标为（0，y）

∵|﹣﹣0|＝≠3

∴|0﹣y|＝3

∴y＝±3

∴点B的坐标为（0，3），（0，﹣3）

②设点B的坐标为（0，y），

根据题意得：|﹣﹣0|≥|0﹣y|

∴|y﹣0|≤

∴点A与点B的“最佳距离”的最小值为

（2）∵点C是直线y＝x+3上的一个动点，

∴设点C（m，m+3），且点D的坐标是（0，1），

∴当|m﹣0|＝|m+3﹣1|＝|m+2|时，点C与点D的“最佳距离”有最小值，

当m≤﹣时，﹣m＝﹣m﹣2

解得：m＝10（不合题意舍去）

当﹣＜m＜0时，﹣m＝m+2

解得：m＝﹣

当m＞0时，m＝m+2

解得：m＝10

∴|m|＝10或

∴点C与点D的“最佳距离”的最小值为，

∴点C坐标为（﹣，）