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【题目】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(02),点C(10),如图所示,抛物线y=ax2ax2经过点B

1)求点B的坐标;

2)求抛物线的解析式;

3)在抛物线上是否还存在点P(B除外),使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)(31);(2y=x2-x-2;(3)存在,点P-1-1)或(-21

【解析】

1)首先过点BBDx轴,垂足为D,易证得△BDC≌△COA,即可得BD=OC=1CD=OA=2,则可求得点B的坐标;
2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
3)分别从①以AC为直角边,点C为直角顶点,则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1P1Mx轴,②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点AAP2CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2P2Ny轴,③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点AAP3CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3P3Hy轴,去分析则可求得答案.

1)过点BBD⊥x轴,垂足为D
∵∠BCD+ACO=90°,∠ACO+OAC=90°
∴∠BCD=CAO
又∵∠BDC=COA=90°CB=AC
∴△BDC≌△COA
BD=OC=1CD=OA=2
∴点B的坐标为(31);

2)∵抛物线y=ax2-ax-2过点B31),
1=9a-3a-2
解得:a=
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2
3)假设存在点P,使得△ACP是等腰直角三角形,
①若以AC为直角边,点C为直角顶点,
则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1P1Mx轴,如图(1),
CP1=BC,∠MCP1=BCD,∠P1MC=BDC=90°
∴△MP1C≌△DBC
CM=CD=2P1M=BD=1
P1-1-1),经检验点P1在抛物线y=x2-x-2上;

②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点AAP2CA,且使得AP2=AC
得到等腰直角三角形ACP2,过点P2P2Ny轴,如图(2),
同理可证△AP2N≌△CAO
NP2=OA=2AN=OC=1
P2-21),经检验P2-21)也在抛物线y=x2-x-2上;

③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点AAP3CA,且使得AP3=AC
得到等腰直角三角形ACP3,过点P3P3Hy轴,如图(3),
同理可证△AP3H≌△CAO
HP3=OA=2AH=OC=1
P323),经检验P323)不在抛物线y=x2-x-2上;
故符合条件的点有P1-1-1),P2-21)两点.

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