【题目】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(3,1);(2)y=x2-x-2;(3)存在,点P(-1,-1)或(-2,1)
【解析】
(1)首先过点B作BD⊥x轴,垂足为D,易证得△BDC≌△COA,即可得BD=OC=1,CD=OA=2,则可求得点B的坐标;
(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(3)分别从①以AC为直角边,点C为直角顶点,则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,去分析则可求得答案.
(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠BCD=∠CAO,
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
∴△BDC≌△COA,
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴点B的坐标为(3,1);
(2)∵抛物线y=ax2-ax-2过点B(3,1),
∴1=9a-3a-2,
解得:a=,
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2;
(3)假设存在点P,使得△ACP是等腰直角三角形,
①若以AC为直角边,点C为直角顶点,
则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图(1),
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,
∴△MP1C≌△DBC,
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,
∴P1(-1,-1),经检验点P1在抛物线y=x2-x-2上;
②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,
得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图(2),
同理可证△AP2N≌△CAO,
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,
∴P2(-2,1),经检验P2(-2,1)也在抛物线y=x2-x-2上;
③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,
得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图(3),
同理可证△AP3H≌△CAO,
∴HP3=OA=2,AH=OC=1,
∴P3(2,3),经检验P3(2,3)不在抛物线y=x2-x-2上;
故符合条件的点有P1(-1,-1),P2(-2,1)两点.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6)分别在x轴,y轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为__.
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【题目】二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,以下结论:①b>4ac;②b+2a<0;③当x<-,y随x的增大而增大;④a-b+c<0中,正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=35°,CD是斜边AB上的中线,如果将△BCD沿CD所在直线翻折,点B落在点E处,联结AE,那么∠CAE的度数是_____度.
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【题目】体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高情况,并绘制了如下不完整的统计图.请根据图中信息,解决下列问题:
(1)求甲、乙两个班共有女生多少人?
(2)请将频数分布直方图补充完整;
(3)求扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数.
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【题目】《如果想毁掉一个孩子,就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章.国际上,法国教育部宣布从 2018 年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机.为了解学生手机使用情况,某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动,他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查,并绘制成如图①,②的 统计图,已知“查资料”的人数是 40人.请你根据以上信息解答下列问题:
(1)在扇形统计图中,“玩游戏”对应的百分比为______,圆心角度数是______度;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有学生2100人,估计每周使用手机时间在2 小时以上(不含2小时)的人数.
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【题目】如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是( )
A. π B. C. 3+π D. 8﹣π
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【题目】市实验中学计划在暑假第二周的星期一至星期五开展暑假社会实践活动,要求每位学生选择两天参加活动.
(1)甲同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期三的概率是 ;
(2)乙同学随机选择两天,其中有一天是星期三的概率是多少?(列表或画树形图或列举)
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