Question

【题目】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D（-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b24ac>0，所以①错误；

∵顶点为D(1,2)，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

∵抛物线与x轴的一个交点A在点(3,0)和(2,0)之间，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，

∴当x=1时，y<0，

∴a+b+c<0，所以②正确；

∵抛物线的顶点为D(1,2)，

∴ab+c=2，

∵抛物线的对称轴为直线x==1，

∴b=2a，

∴a2a+c=2，即ca=2，所以③正确；

∵当x=1时，二次函数有最大值为2，

即只有x=1时,ax2+bx+c=2，

∴方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根，所以④正确.

故选：C.