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【题目】已知在半径为1上,直线相切,,连接于点.

(Ⅰ)如图①,若,求的长;

(Ⅱ)如图②,交于点,若,求的长.

【答案】;(-1

【解析】

1)由切线的性质可知∠OAC=90°,由三角形的内角和定理可知∠AOC=30°,由∠AOB=AOC+BOC可得出∠AOB的度数,结合OA=OB可得出∠OAB=OBA=30°,由此可得出OD=AD,由∠OAB与∠DAC互余可知∠DAC=60°=DCA,由此得出DAC为等边三角形,从而得出OD=AC,由特殊角的三角函数值即可得出结论;
2)由OCOBOC=OB可知∠OBE=OEB=45°,再由BEOA可得出∠AOC=45°,结合切线性质可得出OA=AC,根据角与角之间的关系逐步得出∠CAD=CDA=67.5°,由此可得出AC=CD,结合勾股定理即可得出结论.

解:(1)∵AC与⊙O相切,
∴∠OAC=90°
∵∠OCA=60°
∴∠AOC=30°
OCOB
∴∠AOB=AOC+BOC=120°
OA=OB
∴∠OAB=OBA=30°
OD=AD,∠DAC=60°
AD=CD=AC
OA=1
OD=AC=OAtanAOC=
2)∵OCOB
∴∠OBE=OEB=45°
BEOA
∴∠AOC=45°,∠ABE=OAB
OA=AC,∠OAB=OBA=22.5°
∴∠ADC=AOC+OAB=67.5°
∵∠DAC=90°-OAB=67.5°=ADC
AC=CD
OC==
OD=OC-CD=-1

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