Question

如图所示，在边长为4

2

正方形OABC中，OB为对角线，过点O作OB的垂线．以点O为圆心，r为半径作圆，过点C做⊙O的两条切线分别交OB垂线、BO延长线于点D、E，CD、CE分别切⊙O于点P、Q，连接AE．
（1）请先在一个等腰直角三角形内探究tan22.5°的值；
（2）求证：
①DO=OE；
②AE=CD，且AE⊥CD．
（3）当OA=OD时：
①求∠AEC的度数；
②求r的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,正方形的性质,圆周角定理,切线长定理,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）如图1，△GMN是等腰直角三角形，过点N作NF平分∠MNG，交GM于点F，过点F作FH⊥NG于H．根据角平分线的性质可得FM=FH，利用三角函数可得GF=

2

FH，从而有GF=

2

FM，进而可得MN=（

2

+1）FM，在Rt△FMN中运用三角函数就可求出tan22.5°的值．
（2）如图2，①易证∠DOC=∠EOC=135°，根据切线长定理可得∠PCO=∠QCO，从而可证到△DOC≌△EOC，则有OD=OE．②易证△AOE≌△COD，从而有AE=CD，∠AEO=∠CDO．由∠KDO+∠DKO=90°可得∠AEO+∠DKO=90°，即可证到AE⊥CD．
（3）连接OQ，如图3．由OC=OE得∠OEC=∠OCE，从而求出∠OEC=22.5°．在Rt△OQE中，运用三角函数可得到QE=（

2

+1）r，然后运用勾股定理就可求出r的值．

解答：解：（1）如图1，△GMN是等腰直角三角形．
则有∠M=90°即GM⊥MN，MG=MN，∠MGN=∠MNG=45°．
过点N作NF平分∠MNG，交GM于点F，过点F作FH⊥NG于H．
∵NF平分∠MNG，FH⊥NG，FM⊥MN，
∴∠MNF=

1

2

∠MNG=22.5°，FM=FH．
∵FH⊥NG即∠FHG=90°，∠G=45°，
∴sinG=

FH

GF

=

2

2

．
∴GF=

2

FH．
∴GF=

2

FM．
∴MN=MG=MF+FG=MF+

2

FM=（

2

+1）FM．
在Rt△FMN中，
tan∠FNM=tan22.5°=

FM

MN

=

FM

( 2 +1)FM

=

1

2 +1

=

2

-1．
∴tan22.5°=

2

-1．

（2）①如图2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOB=∠BOC=45°．
∴∠EOC=180°-∠BOC=135°．
∵OD⊥OB即∠DOB=90°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=135°．
∴∠DOC=∠EOC．
∵CD、CE分别与⊙O相切于P、Q，
∴∠PCO=∠QCO．
在△DOC和△EOC中，

∠DCO=∠ECO OC=OC ∠DOC=∠EOC

．
∴△DOC≌△EOC（ASA）．
∴OD=OE．
②∵∠AOB=45°，
∴∠AOE=135°．
∴∠AOE=∠DOC．
在△AOE和△COD中，

OA=OC ∠AOE=∠DOC OE=OD

．
∴△AOE≌△COD（SAS）．
∴AE=CD，∠AEO=∠CDO．
∵∠DOB=90°，∴∠KDO+∠DKO=90°．
∴∠AEO+∠DKO=90°．
∴∠KRE=90°．
∴AE⊥CD．

（3）①∵OA=OD，OA=OC，OD=OE，
∴OA=OD=OE=OC．
∴点A、D、E、C在以点O为圆心，OA为半径的圆上．
∴根据圆周角定理可得∠AEC=

1

2

∠AOC=45°．
∴∠AEC的度数为45°．
②连接OQ，如图3．
∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE=2∠OEC=45°，
∴∠OEC=22.5°
∵CE与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥EC，即∠OQE=90°．
在Rt△OQE中，
∵∠OQE=90°，
∴tan∠OEQ=tan22.5°=

OQ

QE

=

2

-1．
∵OQ=r，
∴QE=

r

2 -1

=（

2

+1）r．
∵∠OQE=90°，
∴OQ²+QE²=OE²．
∵OQ=r，QE=（

2

+1）r，OE=4

2

，
∴r²+[（

2

+1）r]²=（4

2

）²．
整理得（4+2

2

）r²=32．
解得：r=2

4-2 2

．
∴r的值为2

4-2 2

．

点评：本题考查了圆周角定理、切线长定理、正方形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性强．而证明三角形全等是证明线段（或角）相等常用的一种方法，需掌握．