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【题目】如图,在四边形ABCD中,BCBAAD=DC

1)若BDCD,∠C=60°BC=10,求AD的长;

2)若BD平分∠ABC,求证:∠A+C=180°

【答案】1AD=5;(2)证明见解析;

【解析】

(1)由“在直角三角形中, 30°所对的直角边是斜边的一半”可得,CD=BC=5,再由AD=DC,可求出AD的长.

2)先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=EBD,

根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,A=BED.再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:DEC=C

由∠BED+DEC=180°,可得∠A+C=180°

1)∵BDCD

∴∠BDC=90°

∵∠C=60°

∴∠DBC=30°

BC=10,

CD=BC=5

AD=DC=5.

2)证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,

BD平分∠ABC

∴∠ABD=EBD

在△ABD和△EBD中,

∴△ABD≌△EBDSAS),

AD=ED,A=BED

AD=CD

ED=CD

∴∠DEC=C

∵∠BED+DEC=180°

∴∠A+C=180°

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