【题目】如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,
(1)若BD⊥CD,∠C=60°,BC=10,求AD的长;
(2)若BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°。
【答案】(1)AD=5;(2)证明见解析;
【解析】
(1)由“在直角三角形中, 30°所对的直角边是斜边的一半”可得,CD=BC=5,再由AD=DC,可求出AD的长.
(2)先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,
根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED.再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C.
由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°.
(1)∵BD⊥CD,
∴∠BDC=90°,
∵∠C=60°,
∴∠DBC=30°,
又BC=10,
∴CD=BC=5,
即AD=DC=5.
(2)证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD,
在△ABD和△EBD中,
,
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴AD=ED,∠A=∠BED.
∵AD=CD,
∴ED=CD,
∴∠DEC=∠C.
∵∠BED+∠DEC=180°,
∴∠A+∠C=180°.
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【题目】如图,居民楼与马路是平行的,在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m,已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响.
(1)试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车,能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响?
(2)若时间超过25秒,则此路禁止该车通行,你认为载重汽车可以在这条路上通行吗?
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【题目】(本小题7分)如图,一次函数的图象与x轴交于点B,与反比例函数的图象的一个交点为A(2,m).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求当x满足什么范围时,<;
(3)过点A作AC⊥x轴,垂足为点C,如果求点P在反比例函数图象上,且△PBC的面积等于6,请直接写出点P的坐标.
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【题目】已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)求证:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的半径为5,sinA=,求BH的长.
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【题目】如图,点D在AB上,点E在AC上,BE、CD相交于点O.
(1)若∠A=50°,∠BOD=70°,∠C=30°,求∠B的度数;
(2)试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系,并证明你猜想的正确性.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,半径为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,…组成一条平滑曲线,点P从点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 个单位长度,则第2016秒时,点P的坐标是( )
A.(2015,0)B.(2015,-1)C.(2016,0)D.(2016,-1)
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【题目】已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为_____秒时,△ABP和△DCE全等.
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【题目】如图是我国某海域内的一个小岛,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=3千米,请据此解答如下问题:
(1)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.449)
(2)求∠ACD的余弦值.
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【题目】在平面直角坐标系中,点B为第一象限内一点,点A为x轴正半轴上一点,分别连接OB,AB,△AOB为等边三角形,点B的横坐标为4.
(1)如图1,求线段OA的长;
(2)如图2,点M在线段OA上(点M不与点O、点A重合),点N在线段BA的延长线上,连接MB,MN,BM=MN,设OM的长为t,BN的长为d,求d与t的关系式(不要求写出t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,点D为第四象限内一点,分别连接OD,MD,ND,△MND为等边三角形,线段MA的垂直平分线交OD的延长线于点E,交MA于点H,连接AE,交ND于点F,连接MF,若MF=AM+AN,求点E的横坐标.
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