Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，0），（6，0），点D是x轴上的一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．

（1）点C的坐标为____，△CDE为____三角形；

（2）当点D在线段AB上运动时，四边形CDBE的周长是否存在最小值？若存在，求出四边形CDBE的周长最小值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDE是直角三角形时，请直接写出点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（3，3）；等边；（2）存在，6+6，（3，0）；（3）（-6，0）或（12，0）．

【解析】

（1）作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出AH，根据勾股定理求出CH，得到点C的坐标，根据旋转变换的性质、等边三角形的判定定理得到△CDE为等边三角形；
（2）证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，根据四边形的周长公式、垂线段最短计算，求出四边形CDBE的周长最小值、此时点D的坐标；
（3）分点的D在AB的延长线、在BA的延长线两种情况，根据直角三角形的性质、等边三角形的性质解答．

解：（1）如图①，作CH⊥AB于H，

∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB=AB=6，
∵CH⊥AB，
∴AH=HB=3，
由勾股定理得，CH= ，
∴点C的坐标为（3，3），
由旋转的性质可知，CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
故答案为：（3，3）；等边；
（2）存在，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACD+∠DCB=60°，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠BCE+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，

∴四边形CDBE的周长=CD+DB+BE+CE=CD+DB+AD+CE=6+2CD，
当CD最小时，四边形CDBE的周长存在最小值，
由垂线段最短可知，CD⊥AB时，CD最小，CD的最小值为3，
∴四边形CDBE的周长最小值为6+6，此时点D的坐标为（3，0）；
（3）由（2）可知，△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，
∴∠DBE=120°或60°，不能为90°，
如图②，∠DEB=90°时，∠DBE=60°，
∴∠BDE=30°，
∴DB=2BE，
∵BE=AD，

∴AD=AB=6，此时，点D的坐标为（-6，0），
如图③，当∠BDE=90°时，∠ADC=90°-60°=30°，
∵∠CAD=60°，
∴∠ACD=90°，又∠ADC=30°，
∴AD=2AC=12，此时，点D的坐标为（12，0），
综上所述，当△BDE是直角三角形时，点D的坐标为（-6，0）或（12，0）．