[题目]已知:如图.点E.F在线段BD上.AB=CD.∠B=∠D.BF=DE．求证:(1)AE=CF,(2)AF∥CE．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：如图，点E、F在线段BD上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．

求证：（1）AE=CF；（2）AF∥CE．

【答案】证明见解析

【解析】

（1）由BF=DE可得BE=DF，从而可根据SAS判定△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等即可得到结论．

（2）由全等三角形的对应角相等可得∠AEB=∠CFD，根据SAS证明△AEF≌△CFE，得到∠AFE=∠CEF，根据平行线的判定定理即可得到结论．

（1）∵BF=DE，∴BE=DF．

在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF；

（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD．在△AEF和△CFE中，∵EF=FE，∠AEB=∠CFD，AE=CF，∴△AEF≌△CFE，∴∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE．

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【题目】如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动x秒时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）

A.
B.
C.
D.

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小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.

（2）（类比探究）

老师引导同学继续研究：

①等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D.请你在图（2）中补全图形并求DE的长.

②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E， Q为哪一个（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.( 直接写出答案的编号)

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C.b≥﹣2
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（1）求该二次函数的解析式；
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（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？