Question

【题目】如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1．

（1）求k的值；

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，探索：

①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）S＝x﹣1，（3）①OA＝2，②所有P点的坐标为P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（4，0），P4（2，0）．

【解析】

（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；

（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；

（3）①利用三角形的面积求出求出点A坐标；

②设出点P（m，0），表示出AP，OP，计算出OA，分三种情况讨论计算即可得出点P坐标．

解：（1）∵OB＝1，

∴B（1，0），

∵点B在直线y＝kx﹣2上，

∴k﹣2＝0，

∴k＝2

（2）由（1）知，k＝2，

∴直线BC解析式为y＝2x﹣2，

∵点A（x，y）是第一象限内的直线y＝2x﹣2上的一个动点，

∴y＝2x﹣2（x＞1），

∴S＝S△AOB＝×OB×|yA|＝×1×|2x﹣2|＝x﹣1，

（3）①如图，

由（2）知，S＝x﹣1，

∵△AOB的面积是1；

∴x＝2，

∴A（2，2），

∴OA＝2，

②设点P（m，0），

∵A（2，2），

∴OP＝|m|，AP＝，

①当OA＝OP时，∴2＝|m|，∴m＝±2，∴P1（﹣2，0），P2（2，0），

②当OA＝AP时，∴2＝，∴m＝0或m＝4，∴P3（4，0），

③当OP＝AP时，∴|m|＝，∴m＝2，∴P4（2，0），

即：满足条件的所有P点的坐标为P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（4，0），P4（2，0）．