【题目】如图,E是正方形ABCD对角线BD上一点,EM⊥BC,EN⊥CD垂足分别是求M、N
(1)求证:AE=MN;
(2)若AE=2,∠DAE=30°,求正方形的边长.
【答案】
(1)
证明:连接EC.
∵四边形ABCD是正方形,EM⊥BC,EN⊥CD,
∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°,
∴四边形EMCN为矩形.
∴MN=CE.
又∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ABE=∠CBE.
在△ABE和△CBE中
∵ ,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=EC.
∴AE=MN.
(2)
解:过点E作EF⊥AD于点F,
∵AE=2,∠DAE=30°,
∴EF= AE=1,AF=AEcos30°=2×
=
.
∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠EDF=45°,
∴DF=EF=1,
∴AD=AF+DF= +1,即正方形的边长为
+1.
【解析】(1)连接EC,根据题意可得出四边形EMCN为矩形,故MN=CE,再由SAS定理得出△ABE≌△CBE,进而可得出结论;(2)过点E作EF⊥AD,由直角三角形的性质可得出EF及AF的长,再由等腰直角三角形的性质得出DF的长,进而可得出结论.
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标为(0,﹣1),点C(m,0)是x轴上的一个动点.
(1)如图1,点B在第四象限,△AOB和△BCD都是等边三角形,点D在BC的上方,当点C在x轴上运动到如图所示的位置时,连接AD,请证明△ABD≌△OBC;
(2)如图2,点B在x轴的正半轴上,△ABO和△ACD都是等腰直角三角形,点D在AC的上方,∠D=90°,当点C在x轴上运动(m>1)时,设点D的坐标为(x,y),请探求y与x之间的函数表达式;
(3)如图3,四边形ACEF是菱形,且∠ACE=90°,点E在AC的上方,当点C在x轴上运动(m>1)时,设点E的坐标为(x,y),请探求y与x之间的函数表达式.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.
(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?
(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,再分别以点C,D为圆心,大于 CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点E,过点E作射线OE,连接CD.则下列说法错误的是( )
A.射线OE是∠AOB的平分线
B.△COD是等腰三角形
C.O,E两点关于CD所在直线对称
D.C,D两点关于OE所在直线对称
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】情境观察:
(1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F. ①写出图1中所有的全等三角形;
②线段AF与线段CE的数量关系是 .
(2)如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E. 求证:AE=2CD.
(3)如图3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F.求证:DF=2CE. 要求:请你写出辅助线的作法,并在图3中画出辅助线,不需要证明.
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