Question

【题目】在菱形ABCD中，∠BAD=，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．

小宇发现点E的位置，和的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．

（1）如图1，当==90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为 ．

（2）如图2，当=60°，=120°时，

①依题意补全图形；

②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；

（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角,，满足的关系： ．

Answer 1

【答案】（1）EB=EF；（2）①补全图形见解析；②结论依然成立EB=EF．证明见解析； （3）°（当B的对称点不为D时）或°（当B的对称点为D时）

【解析】

(1)先证明ANEM是正方形，再证明，即可证得结果；

(2)①补全图形如图所示；

②证法1，用角平分线性质得出EM=EN,再证明出，即可；

证法2，利用菱形的性质直接出△ADE≌△ABE．即可得出结论；

(3)直接得出结论。

（1）EB=EF；

（2）①补全图形如图所示；

②结论依然成立EB=EF．

证法1：过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD为菱形，

∴．

∵EM⊥AF，EN⊥AB．

∴°，EM=EN．

∵°，°，

∴°°．

∵°，

∴．

在△EFM与△EBN中，

∴△EFM ≌△EBN．

∴EF=EB．

证法2：连接ED

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．

又∵AE=AE,

∴△ADE≌△ABE．

∴ED=EB，∠ADE=∠ABE．

又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．

∴∠F+∠ABE=180°．

又∵∠ADE+∠FDE=180°，

∴∠F=∠FDE．

∴EF=ED．

∴EF=EB．

（3）°（当B的对称点不为D时）或°（当B的对称点为D时）.