【题目】如图1,把 绕点逆时针旋转得,点,分别对应点,,且满足,,三点在同一条直线上,连接交于点,的外接圆圆O与交于、
(1)求证:是圆O切线;
(2)如图2连接,,若,判断四边形的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若,求的长.
【答案】(1)见解析;(2)平行四边形,见解析(3)
【解析】
(1)利用旋转的性质可得:,由三角形内角和可得=90°,即可证明是圆O切线;
(2)由等腰三角形的性质可得:,可得:,可得
由,可设,可得,故,由,可得,可得,即可判断四边形的形状;
(3)计算得,
根据勾股定理列出方程:,求出x的值,即可求出,,运用相似三角形的判定可得:,利用相似三角形的性质可求出 ,根据勾股定理渴求出MG的长度,即可求出GH的长度;
(1)证明:由旋转可知,
是⊙O的直径
∵
又∵
∴
又∵OE是⊙O的半径
是⊙O的切线
(2)四边形是平行四边形
理由如下:
由旋转可知,
又
在中
在中
设,
由旋转可知:
又∵
四边形是平行四边形
(3)四边形是平行四边形
由旋转可知:
在中
在中
解得,
,
如图,过点作于点,连接
,
在中
(取正值)
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【题目】综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折:把边长为的正方形纸片对折,使边与重合,展开后得到折痕.如图①:点为上一点,将正方形纸片沿直线折叠,使点落在上的点处,展开后连接,,,如图②
图① 图②
(一)填一填,做一做:
(1)图②中,_______.线段 _______.
(2)图②中,试判断的形状,并给出证明.
剪一剪、折一折:将图②中的剪下来,将其沿直线折叠,使点落在点处,分别得到图③、图④.
(二)填一填
图③ 图④
(3)图③中阴影部分的周长为_______.
(4)图③中,若,则_______°.
(5)图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有_______对;
(6)如图④点落在边上,若_______,则_______用含,的代数式表示).
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【题目】在菱形ABCD中,∠BAD=,E为对角线AC上的一点(不与A,C重合),将射线EB绕点E顺时针旋转角之后,所得射线与直线AD交于F点.试探究线段EB与EF的数量关系.
小宇发现点E的位置,和的大小都不确定,于是他从特殊情况开始进行探究.
(1)如图1,当==90°时,菱形ABCD是正方形.小宇发现,在正方形中,AC平分∠BAD,作EM⊥AD于M,EN⊥AB于N.由角平分线的性质可知EM=EN,进而可得,并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为 .
(2)如图2,当=60°,=120°时,
①依题意补全图形;
②请帮小宇继续探究(1)的结论是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请举出反例说明;
(3)小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后,在此基础上对一般的图形进行了探究,设∠ABE=,若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足(1)中的结论,请直接写出角,,满足的关系: .
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【题目】体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况,随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位:个),根据测试结果,制成了下面不完整的统计图表:
组别 | 个数段 | 频数 | 频率 |
1 | 5 | 0.1 | |
2 | 21 | 0.42 | |
3 | |||
4 |
(1)表中的数 , ;
(2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数;
(3)排球垫球测试结果小于10的为不达标,若不达标的5人中有3个男生,2个女生,现从这5人中随机选出2人调查,试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点M在BA的延长线上.
(1)按下列要求作图,并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹)
①作∠MAC的平分线AN;
②作AC的中点O,连结BO,并延长BO交AN于点D,连结CD;
(2)在(1)的条件下,判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,在反比例函数的图象上有一动点,连接并延长交图象的另一支于点,在第二象限内有一点,满足,当点运动时,点始终在函数的图象上运动,若,则的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】“校园音乐之声“结束后,王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩(单位:分),绘制成如下频数直方图和扇形统计图:
(1)求本次比赛参赛选手总人数,并补全频数直方图;
(2)求扇形统计图中扇形E的圆心角度数;
(3)成绩在E区域的选手中,男生比女生多一人,从中随机选取两人,求恰好选中两名女生的概率.
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