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【题目】如图1,把 绕点逆时针旋转,点分别对应点,且满足三点在同一条直线上,连接于点的外接圆圆O交于

1)求证:是圆O切线;

2)如图2连接,若,判断四边形的形状,并说明理由;

3)在(2)的条件下,若,求的长.

【答案】1)见解析;(2)平行四边形,见解析(3

【解析】

1)利用旋转的性质可得:由三角形内角和可得=90°,即可证明是圆O切线;

2)由等腰三角形的性质可得:,可得:,可得

,可设可得,故,由,可得,可得,即可判断四边形的形状;

3)计算得

根据勾股定理列出方程:,求出x的值,即可求出,运用相似三角形的判定可得:,利用相似三角形的性质可求出 ,根据勾股定理渴求出MG的长度,即可求出GH的长度;

1)证明:由旋转可知

是⊙O的直径

又∵

又∵OE是⊙O的半径

是⊙O的切线

2)四边形是平行四边形

理由如下:

由旋转可知,

由旋转可知:

又∵

四边形是平行四边形

3四边形是平行四边形

由旋转可知:

解得,

如图,过点于点,连接

(取正值)

练习册系列答案
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【题目】综合与实践

折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折:把边长为的正方形纸片对折,使边重合,展开后得到折痕.如图①:点上一点,将正方形纸片沿直线折叠,使点落在上的点处,展开后连接,如图②

图① 图②

(一)填一填,做一做:

1)图②中,_______.线段 _______

2)图②中,试判断的形状,并给出证明.

剪一剪、折一折:将图②中的剪下来,将其沿直线折叠,使点落在点处,分别得到图③、图④.

(二)填一填

图③ 图④

3)图③中阴影部分的周长为_______

4)图③中,若,则_______°.

5)图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有_______对;

6)如图④点落在边上,若_______,则_______用含的代数式表示).

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【题目】在菱形ABCD中,∠BAD=E为对角线AC上的一点(不与AC重合),将射线EB绕点E顺时针旋转角之后,所得射线与直线AD交于F点.试探究线段EBEF的数量关系.

小宇发现点E的位置,的大小都不确定,于是他从特殊情况开始进行探究.

1)如图1,当==90°时,菱形ABCD是正方形.小宇发现,在正方形中,AC平分∠BAD,作EMADMENABN.由角平分线的性质可知EM=EN,进而可得,并由全等三角形的性质得到EBEF的数量关系为

2)如图2,当=60°=120°时,

①依题意补全图形;

②请帮小宇继续探究(1)的结论是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请举出反例说明;

3)小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后,在此基础上对一般的图形进行了探究,设∠ABE=,若旋转后所得的线段EFEB的数量关系满足(1)中的结论,请直接写出角,满足的关系:

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【题目】在同一直角坐标系中,函数ymxm和函数ymx22x2 (m是常数,且m≠0)的图象可能是(

A.B.C.D.

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【题目】如图,中,,以为直径的圆相交于点,与的延长线相交于点,过点于点

1)求证:是圆的切线;

2)若,求的长.

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【题目】体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况,随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位:个),根据测试结果,制成了下面不完整的统计图表:

组别

个数段

频数

频率

1

5

0.1

2

21

0.42

3

4

1)表中的数      

2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数;

3)排球垫球测试结果小于10的为不达标,若不达标的5人中有3个男生,2个女生,现从这5人中随机选出2人调查,试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率.

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【题目】如图,在△ABC,AB=AC,MBA的延长线上.

(1)按下列要求作图,并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹)

①作∠MAC的平分线AN;

②作AC的中点O,连结BO,并延长BOAN于点D,连结CD;

(2)(1)的条件下,判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.

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【题目】如图,在反比例函数的图象上有一动点,连接并延长交图象的另一支于点,在第二象限内有一点,满足,当点运动时,点始终在函数的图象上运动,若,则的值为(

A.B.C.D.

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【题目】“校园音乐之声“结束后,王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩(单位:分),绘制成如下频数直方图和扇形统计图:

1)求本次比赛参赛选手总人数,并补全频数直方图;

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