Question

【题目】如图，直线AB交x轴于点B（2，0），交y轴于点A（0，2），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=3，连接DA，∠DAC=90°．

（1）求直线AB的解析式．

（2）求D点坐标及过O、D、B三点的抛物线解析式．

（3）若点P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交AB于F，交（2）中抛物线于E，连CE，是否存在P使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线AB的解析式为y=﹣x+2；（2）D点坐标是（1，3），抛物线的解析式为y=﹣3x（x﹣2）；（3）P（，0）；（，0）或（，0）．

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的判定与性质，可得D点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得E点坐标，根据点的坐标满足函数解析式，可得E点坐标，可得P点坐标．

试题解析：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将A.B点坐标代入函数解析式，得

解得

直线AB的解析式为y=x+2；

(2)如图1，

过D作DG⊥y轴，垂足为G，∵OA=OB=2，

∴△OAB是等腰直角三角形。

∵AD⊥AB,

即△ADG是等腰直角三角形，

∴DG=AG=OGOA=DMOA=32=1，

∴D点坐标是(1,3)；

设抛物线的解析式为y=ax(x2)，将D点坐标代入，得

a×1×(12)=3,解得a=3,抛物线的解析式为y=3x(x2)；

(3)由(2)得 则 设P(x,0)，MP=x1，PB=2x，

①当时,△BPF∽△FCE，

过C作CH⊥EF, 即EF=2CH=MP，

∴PE=PF+EF=BP+2MP=2x+2(x1)=x,即E(x,x).

将E点坐标代入抛物线，得

x=3x(x2)，

解得（不符合题意,舍） ,即

②如图2，

当时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，PE=MC=1，

∴E(x,1)，

将E点坐标代入函数解析式，得

3x(x2)=1，

解得

此时或

综上所述： 或