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【题目】如图1,若顺次连接四边形ABCD各边中点得的四边形EFGH是矩形,则称原四边形ABCD为“中母矩形”即若四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形称为“中母矩形”.

1)如图2,在直角坐标系xOy中,已知A40),B14),C46),请在格点上标出D点的位置(只标一点即可),使四边形ABCD是中母矩形.并写出点D的坐标.

2)如图3,以△ABC的边ABAC为边,向三角形外作正方形ABDEACFG,连接CEBG相交于点O,试判断四边形BEGC是中母矩形?说明理由.

3)如图4,在RtABC中,AB8BC6E是斜边AC的中点,F是直角边AB的中点,P是直角边BC上一动点,试探究:当PC_____时,四边形BPEF是中母矩形?(直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半)

【答案】1)图详见解析,D64);(2)详见解析;(3.

【解析】

1)根据中母矩形的定义进而得出当BDx轴时,D在线段AC右侧即可;(2)利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出△EAC≌△GABSAS),进而得出ECBG,得出答案即可;(3)根据中位线的性质可得EF的长,利用“中母矩形”的定义结合相似三角形的性质与判定可得出BP的长,进而可得PC的长.

1)如图2所示:点D即为所求,D64);

2)如图3

∵四边形ABDEACFG是正方形,

∴∠EAB=∠GAC90°,AGACAEAB

∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC=∠GAB

在△EAC和△GAB

∴△EAC≌△GABSAS),

∴∠ABG=∠AEC

∴∠AEC+∠AHE=∠ABG+∠BHO90°,

ECBG

∴四边形BEGC是中母矩形;

3)如图4,连接BE,作FPBEO,交BCP,连接EP

∴四边形BPEF是中母矩形,

∵∠FPB+∠BFP90°,∠EBF+∠BFP90°,

∴∠FPB=∠FBE

E是斜边AC的中点,F是直角边AB的中点,

EF//BCBFAB=4EFBC=3

∠FBC=90°

∠EFB=180°-90°=90°

∠EFB=∠FBP=90°

∴△BFE∽△PBF

PC=BC-BP=6-=

即当PBC边上,PC=时,四边形BPEF是中母矩形.

故答案为:

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