Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）求证：△ANC为等腰三角形；
（2）试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出∠ANH=∠ACH，进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定方法得出△AND≌△ACD（ASA），进而得出DN=DC，∠AND=∠ACD，即可得出∠B=∠NDB，进而得出答案．

解答 （1）证明：∵CN⊥AD，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠NAH=∠CAH，
又∵在△ANH和△ACH中
∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∠AHC+∠CAH+∠ACH=180°
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴△ANC为等腰三角形；

（2）解：BN=CD，
原因如下：如图：连接ND
∵△AND和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAD=∠CAD}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHC}\end{array}\right.$
∴△AND≌△ACD（ASA），
∴DN=DC，∠AND=∠ACD，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B
又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，
∴∠B=∠NDB，
∴NB=ND，
∴BN=CD．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和角平分线的性质等知识，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．