Question

观察下列等式：1-

1

22

=

1

2

×

3

2

，1-

1

32

=

2

3

×

4

3

，1-

1

42

=

3

4

×

5

4

…
（1）猜想并写出：1-

1

n2

=

 

（n为大于1的整数）；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①1-

1

102

=

 

；
②（1-

1

22

）×（1-

1

32

）×（1-

1

42

）×…×（1-

1

20132

）=

 

；
（3）探究并计算：
（1-

1

22

）×（1-

1

32

）×（1-

1

42

）×…×（1-

1

n2

）（n是大于1的整数）．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）由1-

1

22

=

1

2

×

3

2

，1-

1

32

=

2

3

×

4

3

，1-

1

42

=

3

4

×

5

4

…得出1-

1

n2

=

n-1

n

×

n+1

n

；
（2）①由（1）的规律直接得出答案即可；
②利用规律得出算式，约分抵消得出答案即可；
（3）利用规律得出算式，约分抵消得出答案即可．

解答：解：（1）1-

1

n2

=

n-1

n

×

n+1

n

；
（2）①1-

1

102

=

99

100

；
②（1-

1

22

）×（1-

1

32

）×（1-

1

42

）×…×（1-

1

20132

）
=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×

3

4

×

5

4

×…×

2012

2013

×

2014

2013

=

1

2

×

2014

2013

=

1007

2013

；
（3）（1-

1

22

）×（1-

1

32

）×（1-

1

42

）×…×（1-

1

n2

）
=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×

3

4

×

5

4

×…×

n-1

n

×

n+1

n

=

n+1

2n

．

点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出规律，利用规律解决问题．