Question

如图所示，圆O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BD⊥AB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD．已知AB=5，AC=3，求DE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：证明△ABC∽△ODB，得到

AC

OB

=

AB

OD

，由AC=3，AB=5，OB=2.5，求出OD=

25

6

；证明OE为△ABC的中位线，得到OE=

1

2

AC=

3

2

，求出DE=

25

6

-

3

2

=

8

3

．

解答：解：∵点O在AB上，BD⊥AB，
∴∠ACB=∠OBD=90°；
∵OD∥AC，
∴∠CAB=∠DOB，
∴△ABC∽△ODB，
∴

AC

OB

=

AB

OD

，而AC=3，AB=5，OB=2.5，
∴OD=

25

6

；
∵AO=BO，OE∥AC，
∴BE=CE，OE为△ABC的中位线，
∴OE=

1

2

AC=

3

2

，DE=

25

6

-

3

2

=

8

3

，
即DE的长为

8

3

．

点评：该题主要考察了相似三角形的判定、圆周角定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的相似三角形，运用相似三角形的判定等几何知识点来推理、解答．