Question

17．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．
（1）图②有5个三角形；图③有9个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？（用n的代数式表示结论）
（3）有没有一个图形中存在2016个三角形？如果存在，请求出是第几个三角形；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据图形的变化可发现每个图形比前一个图形多4个三角形，结合图①有一个三角形即可得出结论；（2）根据图形的变化可发现每个图形比前一个图形多4个三角形，而图形①只有一个三角形，用含n的代数式表示出结论即可；（3）结合（2）的结论，令三角形的个数等于2016，看n的值是否为整数，是的话则第n个图形就是所求，如果不是，则不存在．

解答 解：根据图形的变化可知每个图形比前一个图形多4个三角形．
（1）由发现的规律可知图②有1+4=5个三角形；图③有5+4=9个三角形．
故答案为：5；9．
（2）4×（n-1）+1=4n-3．
故按上面的方法继续下去，第n个图形中有4n-3个三角形．
（3）令4n-3=2016，解得n=504…3，
∵商出现了余数，即得数不是整数，
∴没有一个图形中存在2016个三角形．

点评 本题考查了图形变化类中的三角形的变化，解题的关键是：根据图形的变化发现每个图形比前一个图形多4个三角形．本题属于基础题，难度不大，只要按照后面图形的画法，分析图②图③即可得出结论，唯一的失分点是忘记结合图①一个三角形．