【题目】如图,在平面直角坐标系中,长方形的顶点的坐标分别为,,是的中点,动点从点出发,以每秒个单位长度的速度,沿着运动,设点运动的时间为秒().
(1)点的坐标是______;
(2)当点在上运动时,点的坐标是______(用表示);
(3)求的面积与之间的函数表达式,并写出对应自变量的取值范围.
【答案】(1)(3,4);(2)(6,t-6)(3)
【解析】
(1)根据长方形的性质和A、B的坐标,即可求出OA=BC=6,OC=AB=4,再根据中点的定义即可求出点D的坐标;
(2)画出图形,易知:点P的横坐标为6,然后根据路程=速度×时间,即可求出点P的运动路程,从而求出AP的长,即可得出点P的坐标;
(3)分别求出点P到达A、B、D三点所需时间,然后根据点P运动到OA、AB、BD分类讨论,并写出t对应的取值范围,然后画出图形,利用面积公式即可求出各种情况下与之间的函数表达式.
解:(1)∵长方形的顶点的坐标分别为,,
∴OA=BC=6,OC=AB=4,BA⊥x轴,BC⊥y轴
∵是的中点,
∴CD=BD=BC=3
∴点D的坐标为(3,4)
故答案为:(3,4);
(2)当点在上运动时,如下图所示
易知:点P的横坐标为6,
∵动点从点出发,以每秒个单位长度的速度,时间为t
∴点P运动的路程OA+AP=t
∴AP=t-6
∴点P的坐标为(6,t-6)
故答案为:(6,t-6);
(3)根据点P的速度可知:点P到达A点所需时间为OA÷1=6s
点P到达B点所需时间为(OA+AB)÷1=10s
点P到达D点所需时间为(OA+AB+BD)÷1=13s
①当点P在OA上运动时,此时,过点D作DE⊥x轴于E
∴DE=4
∵动点从点出发,以每秒个单位长度的速度,
∴OP=t
∴;
②当点P在AB上运动时,此时,
由(2)知AP=t-6
∴BP=AB-AP=10-t
∴
=
=
=;
③当点P在BD上运动时,此时,
∵动点从点出发,以每秒个单位长度的速度,时间为t
∴点P运动的路程OA+AB+BP=t
∴BP=t-OA-AB=t-10
∴DP=BD-BP=13-t
=
=
综上所述:
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;
(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
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【题目】(综合与实践
如图,直线的函数关系式为,且与轴交于点A,直线经过点B(2,0),C(-1,3),直线与交于点D.
(1)求直线的函数关系式;
(2)求△ABD的面积.
(3)点P是轴上一动点,问是否存在一点P,恰好使△ADP为直角三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,已知直线的同侧有两个点、,在直线上找一点,使点到、两点的距离之和最短的问题,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线的对称点,对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点,通过这种方法可以求解很多问题.
(1)如图2,在平面直角坐标系内,点的坐标为,点的坐标为,动点在轴上,求的最小值;
(2)如图3,在锐角三角形中,,,的角平分线交于点,、分别是和上的动点,则的最小值为______.
(3)如图4,,,,点,分别是射线,上的动点,则的最小值为__________.
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【题目】某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有张床位的旅馆,当每张床位每天收费元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高元,则相应的减少了张床位租出.如果每张床位每天以元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是( )
A. 14元 B. 15元 C. 16元 D. 18元
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【题目】空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米.
(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1,求所利用旧墙AD的长;
(2)已知0<α<50,且空地足够大,如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值.
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【题目】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
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