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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;

(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标;

(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2));(3)当点P的坐标为()时,四边形ACPB的最大面积值为.

【解析】

(1)已知二次函数上两点的坐标,利用待定系数法求解二次函数的解析式。

(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分,可得P点的纵坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得P点坐标;

(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PQ的长,根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案.

解:(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式,得

解得

二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3;

(2)若四边形POP′C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上,

如图1,连接PP′,则PE⊥CO,垂足为E,

∵C(0,3),

∴E(0,),

∴点P的纵坐标

当y=时,即﹣x2+2x+3=

解得x1=,x2=(不合题意,舍),

∴点P的坐标为();

(3)如图2,

P在抛物线上,设P(m,﹣m2+2m+3),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将点B和点C的坐标代入函数解析式,得

解得

直线BC的解析为y=﹣x+3,

设点Q的坐标为(m,﹣m+3),

PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.

当y=0时,﹣x2+2x+3=0,

解得x1=﹣1,x2=3,

OA=1,

AB=3﹣(﹣1)=4,

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+(﹣m2+3m)×3

=﹣(m﹣2+

当m=时,四边形ABPC的面积最大.

当m=时,﹣m2+2m+3=,即P点的坐标为().

当点P的坐标为()时,四边形ACPB的最大面积值为

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