【题目】如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;
(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)(,);(3)当点P的坐标为(,)时,四边形ACPB的最大面积值为.
【解析】
(1)已知二次函数上两点的坐标,利用待定系数法求解二次函数的解析式。
(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分,可得P点的纵坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得P点坐标;
(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PQ的长,根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案.
解:(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式,得
,
解得,
二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3;
(2)若四边形POP′C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上,
如图1,连接PP′,则PE⊥CO,垂足为E,
∵C(0,3),
∴E(0,),
∴点P的纵坐标,
当y=时,即﹣x2+2x+3=,
解得x1=,x2=(不合题意,舍),
∴点P的坐标为(,);
(3)如图2,
P在抛物线上,设P(m,﹣m2+2m+3),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将点B和点C的坐标代入函数解析式,得
,
解得.
直线BC的解析为y=﹣x+3,
设点Q的坐标为(m,﹣m+3),
PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.
当y=0时,﹣x2+2x+3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
OA=1,
AB=3﹣(﹣1)=4,
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
=ABOC+PQOF+PQFB
=×4×3+(﹣m2+3m)×3
=﹣(m﹣)2+,
当m=时,四边形ABPC的面积最大.
当m=时,﹣m2+2m+3=,即P点的坐标为(,).
当点P的坐标为(,)时,四边形ACPB的最大面积值为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过A(0,3),且对称轴是直线x=2.
(1)求该函数的解析式;
(2)在抛物线上找一点P,使△PBC的面积是△ABC的面积的,求出点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=--x+8与x轴,y轴分别交于点A,点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
(1)求AB的长和点C的坐标;
(2)求直线CD的表达式.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我们定义:两个二次项系数之和为1,对称轴相同,且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数例如:的友好同轴二次函数为.
请你分别写出,的友好同轴二次函数;
满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数?满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身?
如图,二次函数:与其友好同轴二次函数都与y轴交于点A,点B、C分别在、上,点B,C的横坐标均为,它们关于的对称轴的对称点分别为,,连结,,,CB.
若,且四边形为正方形,求m的值;
若,且四边形的邻边之比为1:2,直接写出a的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当△PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】材料一:我们可以将任意三位数记为,(其中、、分别表示该数的百位数字,十位数字和个位数字,且),显然.
材料二:若一个三位数的百位数字,十位数字和个位数字均不为0,则称之为初始数,比如123就是一个初始数,将初始数的三个数位上的数字交换顺序,可产生出5个新的初始数,比如由123可以产生出132,213,231,312,321这5个新初始数,这6个初始数的和成为终止数.
(1)求初始数125生成的终止数;
(2)若一个初始数,满足,且,记,,,若,求满足条件的初始数的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2020年是全面建成小康社会收官之年,某扶贫帮扶小组积极响应,对农民实施精准扶贫.某农户老张家种植花椒和黑木耳两种干货共800千克,扶贫小组通过市场调研发现,花椒市场价60元/千克,黑木耳市场价48元/千克,老张全部售完可以收入4.2万元.已知老张种植花椒成本需25元/千克,种植木耳成本需35元/千克,根据脱贫目标任务要求,老张种植花椒和黑木耳的两种干货的纯收入(销售收入-种植成本)在2万元以上才可以顺利脱贫.请你分析一下扶贫帮扶小组是否能帮助老张顺利脱贫.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,长方形的顶点的坐标分别为,,是的中点,动点从点出发,以每秒个单位长度的速度,沿着运动,设点运动的时间为秒().
(1)点的坐标是______;
(2)当点在上运动时,点的坐标是______(用表示);
(3)求的面积与之间的函数表达式,并写出对应自变量的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com