Question

先阅读材料，再回答问题：
材料：分解因式：（x+y）²+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A²+2A+1=（A+1）²，再将“A”还原，原式=（x+y+1）²．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学中常用的一种思想，你能用整体思想回答下列问题吗？
问题：
（1）分解因式：（a+b）（a+b-4）+4．
（2）求证：若n为正整数，则代数式n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：阅读型,整体思想

分析：（1）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（2）将原式转化为[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n²+3n+1）²，根据n为正整数得到n²+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．

解答：解：（1）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A²-4A+4=（A-2）²，
故原式（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）²；

（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²，
∵n为正整数，
∴n²+3n+1也为正整数，
∴代数式n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．

点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识，难度中等．