【题目】已知,如图甲,在△ABC中,AE平分∠BAC(∠C>∠B),F为AE上一点,且FD⊥BC于D.
(1)试说明:∠EFD=(∠C﹣∠B);
(2)当F在AE的延长线上时,如图乙,其余条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
【答案】(1)见详解;(2)成立,证明见详解.
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=(180°﹣∠B﹣∠C)=90°﹣(∠B+∠C),然后根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE,求得∠FEC,再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论;
(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+(∠B﹣∠C),根据对顶角相等即可求得∠DEF,然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解.
解:(1)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠BAC=(180°﹣∠B﹣∠C)
=90°﹣(∠B+∠C),
∵∠FEC=∠B+∠BAE,
则∠FEC=∠B+90°﹣(∠B+∠C)
=90°+(∠B﹣∠C),
∵FD⊥EC,
∴∠EFD=90°﹣∠FEC,
则∠EFD=90°﹣[90°+(∠B﹣∠C)]
=(∠C﹣∠B);
(2)成立.
证明:同(1)可证:∠AEC=90°+(∠B﹣∠C),
∴∠DEF=∠AEC=90°+(∠B﹣∠C),
∴∠EFD=90°﹣[90°+(∠B﹣∠C)]
=(∠C﹣∠B).
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【题目】如图,平行于x轴的直线AC分别交函数 y=x(x≥0)与 y= x(x≥0)的图象于 B,C两点,过点C作y轴的平行线交y=x(x≥0)的图象于点D,直线DE∥AC交 y=x(x≥0)的图象于点E,则=( )
A. B. 1 C. D. 3﹣
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【题目】下面关于x的方程中:①ax2+x+2=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=④x2-a=0(a为任意实数;⑤=x-1一元二次方程的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上;如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为300,同一时 刻,一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为【 】
A.米 B.12米 C.米 D.10米
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【题目】如图,是由绕点顺时针旋转得到的,连结交斜边于点,的延长线交于点.
(1)若,,求;
(2)证明:;
(3)设,试探索满足什么关系时,与是全等三角形,并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交AC 于点 E.
(1)判断 BE 与△DCE 的外接圆⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 BE=,BD=1,求△DCE 的外接圆⊙O 的直径.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求证:KE=GE;
(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=,求CN的长.
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【题目】问题背景:
学校广播站要招聘一名播音员,需考查应聘学生的应变能力、知识面、朗读水平三个项目,决赛中,小文和小明两位同学的各项成绩如下表,评委计算三项测试的平均成绩,发现小明与小文的相同.
测试项目 | 测试成绩 | |
小文 | 小明 | |
应变能力 | 70 | 80 |
知识面 | 80 | 72 |
朗诵水平 | 87 | 85 |
(1)评委按应变能力占10%,知识面占40%,朗诵水平占50%计算加权平均数,作为最后评定的总成绩,成绩高者将被录用,小文和小明谁将被录用?
(2)若(1)中应变能力占,知识面占,其中,其它条件都不改变,使另一位选手被录用,请直接写出一个你认为合适的的值.
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