【题目】我们知道,解一元一次方程,可以把它转化为两个一元一次方程来解,其实用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,例如一元三次方程x3+x2﹣2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x﹣2)=0,解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得方程x3+x2﹣2x=0的解.
(1)方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= .
(2)用“转化”思想求方程=x的解.
(3)如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=14m,宽AB=12m,小华把一根长为28m的绳子的一端固定在点B处,沿草坪边沿BA、AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P处,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C处,求AP的长.
【答案】(1)1、﹣2;(2)x1=﹣1、x2=3;(3)AP的长为5m或9m.
【解析】
(1)先提取公因式x,再因式分解可得x(x﹣1)(x+2)=0,据此解之可得;
(2)两边平方后整理可得x2﹣2x﹣3=0,解之可得;
(3)设AP=x,则DP=14﹣x,根据勾股定理可得PB=、PC=,由PB+PC=28得+=28,移项、平方求解可得.
(1)∵x3+x2﹣2x=0,
∴x(x2+x﹣2)=0,
∴x(x﹣1)(x+2)=0,
则x=0或x﹣1=0或x+2=0,
解得:x1=0、x2=1、x3=﹣2.
故答案为:1、﹣2.
(2)∵=x,
∴2x+3=x2,即x2﹣2x﹣3=0,
∴(x+1)(x﹣3)=0,
则x+1=0或x﹣3=0,
解得:x1=﹣1、x2=3;
(3)设AP=x,则DP=14﹣x,
∵AB=CD=12,∠A=∠D=90°,
∴PB==、PC==,
∵PB+PC=28,
∴+=28,
=28﹣,
两边平方,整理可得:,
再两边平方,整理可得:x2﹣14x+45=0,
解得x1=5、x2=9,
则AP的长为5m或9m.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①3a+b<0;②-1≤a≤-;③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,直线与反比例函数在第一象限内的图象交于、两点,且与轴的正半轴交于点.若,的面积为,则的值为( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
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【题目】数学活动小组组织一次登山活动,他们从山脚下点出发沿斜坡到达点,再从点沿斜坡到达山顶点,路线如图所示.斜坡的长为米,斜坡的长为米,坡度是,已知点海拔米,点海拔米.
问点测得点的俯角为________,并求点的海拔;
求斜坡的坡度;
为了方便上下山,若在到之间架设一条钢缆,求钢缆的长度.
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【题目】△在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出△关于轴对称的△,并写出△各顶点的坐标;
(2)将△向右平移6个单位,作出平移后的△,并写出△各顶点的坐标;
(3)观察△和△,它们是否关于某直线对称?若是,请用粗线条画出对称轴.
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【题目】现有、两种商品,已知买一件商品要比买一件商品少元,用元全部购买商品的数量与用元全部购买商品的数量相同.
(1)求、两种商品每件各是多少元?
(2)如果小亮准备购买、两种商品共件,总费用不超过元,且不低于元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?
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【题目】如图,在中,,,在边长为的小正方形组成的网格中,的顶点、均在格点上,点在轴上,点的坐标为.
点关于点中心对称的点的坐标为________;
(2)绕点顺时针旋转后得到,那么点的坐标为________;线段在旋转过程中所扫过的面积是________.
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【题目】如图,在△ABC中,BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E,如果∠BAC=60°,∠ACE=24°,那么∠BCE的大小是( )
A. 24° B. 30° C. 32° D. 36°
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【题目】(2017浙江省湖州市)如图,已知∠AOB=30°,在射线OA上取点O1,以O1为圆心的圆与OB相切;在射线O1A上取点O2,以O2为圆心,O2O1为半径的圆与OB相切;在射线O2A上取点O3,以O3为圆心,O3O2为半径的圆与OB相切;…;在射线O9A上取点O10,以O10为圆心,O10O9为半径的圆与OB相切.若⊙O1的半径为1,则⊙O10的半径长是______.
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