Question

【题目】如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1＝x2+2x+2与y2＝x2﹣2x+2是“关于y轴对称二次函数”．

（1）直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的共同特点．

（2）二次函数y＝2（x+2）2+1的“关于y轴对称二次函数”解析式为　 　；二次函数y＝a（x﹣h）2+k的“关于y轴对称二次函数”解析式为　 　；

（3）平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）y＝2（x﹣2）2+1，y＝a（x+h）2+k；（3）y＝﹣（x﹣3）2﹣4．

【解析】

（1）根据“关于y轴对称二次函数”，可得答案；

（2）根据“关于y轴对称二次函数”，可得答案；

（3）根据“关于y轴对称二次函数”，菱形的面积，可得顶点坐标，图象与y轴的交点，根据待定系数法，可得答案．

解：（1）直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的共同特点时顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称，

（2）二次函数y＝2（x+2）2+1的“关于y轴对称二次函数”解析式为 y＝2（x﹣2）2+1；

二次函数y＝a（x﹣h）2+k的“关于y轴对称二次函数”解析式为y＝a（x+h）2+k．

故答案为：y＝2（x﹣2）2+1，y＝a（x+h）2+k；

（3）如图：

由BC＝6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，得

OA＝8，A点坐标为（0，8），B点的坐标为（﹣3，4），

设一个抛物线的解析式为y＝a（x+3）2+4，将A点坐标代入，得

9a+4＝8，

解得a＝，

y＝（x+3）2+4关于y轴对称二次函数的函数表达式y＝（x﹣3）2+4．

根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，

“关于y轴对称二次函数”的函数表达式为y＝﹣（x+3）2﹣4关于y轴对称二次函数的函数表达式y＝﹣（x﹣3）2﹣4．