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【题目】定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.

(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,则BN=
(2)如图2,在△ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点;

(3)如图3,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,四边形AMDC,四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形,点P在边EF上,试探究SACN , SAPB , SMBH的数量关系.
SACN=;SMBH=;SAPB=
SACN , SAPB , SMBH的数量关系是

【答案】
(1)
(2)证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点,

∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线,

∴BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,

∵点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD,

∴EC2=DE2+DB2

∴4NG2=4MN2+4FM2

∴NG2=MN2+FM2

∴点M,N是线段FG的勾股分割点


(3) ?AM2+ MN?AM, ?BN2+ ?MN?BN, MN2+ ?MN?AM+ ?MN?BN,SAPB=SACN+SMBH
【解析】解:(1)分两种情况:

①当MN为最大线段时,

∵点 M、N是线段AB的勾股分割点,

∴BN= = =

②当BN为最大线段时,

∵点M、N是线段AB的勾股分割点,

∴BN= = =

综上所述:BN的长为

⑶∵四边形AMDC,四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形,

∴SACN= (AM+MN)AC= (AM+MN)AM= AM2+ MNAM,

SMBH= (MN+BN)BH= (MN+BN)BN= BN2+ MNBN,

SPAB= (AM+NM+BN)FN= (AM+MN+BN)MN= MN2+ MNAM+ MNBN,

∴SAPB=SACN+SMBH

所以答案是SAPB=SACN+SMBH

【考点精析】关于本题考查的相似三角形的性质,需要了解对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能得出正确答案.

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