【题目】定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,则BN=;
(2)如图2,在△ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点;
(3)如图3,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,四边形AMDC,四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形,点P在边EF上,试探究S△ACN , S△APB , S△MBH的数量关系.
S△ACN=;S△MBH=;S△APB=;
S△ACN , S△APB , S△MBH的数量关系是 .
【答案】
(1) 或
(2)证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点,
∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线,
∴BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG,
∵点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD,
∴EC2=DE2+DB2,
∴4NG2=4MN2+4FM2,
∴NG2=MN2+FM2,
∴点M,N是线段FG的勾股分割点
(3) ?AM2+ MN?AM, ?BN2+ ?MN?BN, MN2+ ?MN?AM+ ?MN?BN,S△APB=S△ACN+S△MBH
【解析】解:(1)分两种情况:
①当MN为最大线段时,
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点,
∴BN= = = ;
②当BN为最大线段时,
∵点M、N是线段AB的勾股分割点,
∴BN= = = ;
综上所述:BN的长为 或 .
⑶∵四边形AMDC,四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形,
∴S△ACN= (AM+MN)AC= (AM+MN)AM= AM2+ MNAM,
S△MBH= (MN+BN)BH= (MN+BN)BN= BN2+ MNBN,
S△PAB= (AM+NM+BN)FN= (AM+MN+BN)MN= MN2+ MNAM+ MNBN,
∴S△APB=S△ACN+S△MBH,
所以答案是S△APB=S△ACN+S△MBH.
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的性质,需要了解对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能得出正确答案.
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【题目】端午节期间,某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘(转盘被平均分成16份),并规定:顾客每购买100元的商品,就能获得一次转转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准红色、黄色或绿色区域,顾客就可以分别获得玩具熊、童话书、水彩笔.小明和妈妈购买了125元的商品,请你回答下列问题:
(1)小明获得奖品的概率是多少?
(2)小明获得玩具熊、童话书、水彩笔的概率分别是多少?
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【题目】已知直线.
(1)如图1,直接写出,和之间的数量关系.
(2)如图2,,分别平分,,那么和有怎样的数量关系?请说明理由.
(3)若点E的位置如图3所示,,仍分别平分,,请直接写出和的数量关系.
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【题目】为了加强学生的安全意识,某校组织了学生参加安全知识竞赛,从中抽取了部分学生成绩(得分数取正整数,满分为100分)进行统计,绘制统计图如下(未完成),解答下列问题:
(1)若A组的频数比B组小24,求频数分布直方图中的、的值;
(2)扇形统计图中,D部分所对的圆心角为n°,求n的值并补全频数分布直方图;
(3)若成绩在80分以上为优秀,全校共有2000名学生,估计成绩优异的学生有多少名?
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【题目】如图1,矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上,已知点A(0,3)、点C(-4,0).
(1)若把矩形OABC沿直线DE折叠,使点C落在点A处,直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E,求折痕DE的长;
(2)若点P在x轴上,在平面内是否存在点Q,使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,则请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若M为AC边上的一动点,在OA上取一点N(0,1),将矩形OABC绕点O顺时针旋转一周,在旋转的过程中,M的对应点为M1,请直接写出NM1的最大值和最小值.
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【题目】在南通市中小学标准化建设工程中,某校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买台电脑和台电子白板需要万元,购买台电脑和台电子白板需要万元.
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元;
(2)根据学校实际,需购进电脑和电子白板共台,若总费用不超过万元,则至多购买电子白板多少台?
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