Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先根据矩形的性质及中点的定义得出∠BAD=90°，AE=DE=1，那么△ABE是等腰直角三角形，BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$．再分三种情况讨论：①BP=BE；②PB=PE；③EB=EP．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，
∴∠BAD=90°，AE=DE=1，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$．
若△BEP为等腰三角形，则分三种情况：
①当BP=BE时，显然BP=$\sqrt{2}$；
②当PB=PE时，如图，连结AP．
∵PB=PE，AB=AE，
∴AP垂直平分BE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠EAP=45°．
作PM⊥AB于M，设PM=x，
∵S_△ABD=S_△ABP+S_△APD
∴$\frac{1}{2}$×1•x+$\frac{1}{2}$×2•x=$\frac{1}{2}$×1×2，
解得x=$\frac{2}{3}$，
∴PM=$\frac{2}{3}$，
∴BP=$\frac{PM}{sin∠ABD}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
③当EB=EP时，如图，过A作AF⊥BD于F，过E作EG⊥BD于G．
在Rt△ABF中，AF=AB•sin∠ABF=1×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AE=ED，EG∥AF，
∴EG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△BEG中，∵BE=$\sqrt{2}$，EG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∵EB=EP，EG⊥BP，
∴BP=2BG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，线段BP的长度等于$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．