Question

如图所示，在平面直角坐标系中，过B的直线l：y=kx+1与x轴交于A点，且∠BAO=30°．
（1）求k的值及点A的坐标；
（2）C为OA上一个动点，P为线段BA上的一个动点，当以O，C，P三点为顶点的三角形恰好是等边三角形时，求出等边三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，将等边△OPC沿x轴正方向平行移动，是否存在下列情形：直线l恰好将等边△POC分成全等的两部分？若存在，求出此时OP所在直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据∠BAO的值可以求得k的值，即可求得直线l与x轴交点，即可解题；
（2）根据△OCP是等边三角形，可以求得∠POC=60°，即可求得∠OPA=90°，根据S_△AOB=

1

2

AB•OP=

1

2

BO•AO，即可求得PO的值，即可求得S_△POC的值；
（3）作出平移后图形，易证当点C移动至与点A重合时，直线l恰好将等边△POC分成全等的两部分，即可求得O'点坐标，根据平移直线斜率不变即可求得平移后直线OP的解析式，即可解题．

解答：解：（1）∵∠BAO=30°，
∴tan∠BAO=

3

3

，
∴k=-

3

3

，
∴直线l解析式为：y=-

3

3

x+1，
当y=0时，x=

3

，
∴点A坐标（

3

，0）；
（2）∵△OCP是等边三角形，
∴∠POC=60°，
∵∠BAO=30°，
∴∠OPA=90°，AB=2BO=2，
∵S_△AOB=

1

2

AB•OP=

1

2

BO•AO，
∴PO=

3

2

，
∴S_△POC=

1

2

PO•PO•sin60°=

3 3

16

；
（3）作出平移后图形，

∵直线l恰好将等边△POC分成全等的两部分，
∴PG=CG，
∵∠BAO=30°，∠PAO=60°，
∴∠PAG=30°，
∴当点C移动至与点A重合时，直线l恰好将等边△POC分成全等的两部分，
∴AO'=AC=CO=

3

2

，
∴O'点坐标为（

3

2

，0），
∵∠AOP=60°，∴直线OP斜率为

3

，
设平移后OP所在直线为y=

3

x+b，
∵平移后OP所在直线经过点O'，
代入O'得：平移后OP所在直线为y=

3

x-

3

2

．

点评：本题考查了直线解析式的求解，考查了直线和x轴交点的求解，考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形三线合一的性质，本题中求得直线PO的解析式是解题的关键．