Question

如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD上的点，且AE=2DE，连接BE并延长交AC于F．
（1）求证：AF=FC；
（2）求

BF

EF

的值．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,三角形的重心

专题：

分析：（1）过D作DG∥AC交BF于点G，则DG是△BCF的中位线，且△DEG∽△AEF，依据三角形中位线定理以及相似三角形的性质，确定AF、FC与DG的关系即可证得；
（2）根据（1）中△DEG∽△AEF，DG是△BCF的中位线，利用EF表示出BF即可．

解答：（1）证明：过D作DG∥AC交BF于点G．
∵DG∥AC，又AD是△ABC的中线，即BD=DC，
∴DG=

1

2

FC．
∵DG∥AC，
∴△DEG∽△AEF，
∴

DG

AF

=

DE

AE

，
又∵AE=2DE，
∴

DG

AF

=

1

2

，
则DG=

1

2

AF，
∴AF=FC；
（2）解：∵DG∥AC，又AD是△ABC的中线，即BD=DC，
∴BF=2GF．
∵∴△DEG∽△AEF，
∴

GE

EF

=

DE

AE

=

1

2

，
∴GE=

1

2

EF，
设EF=2x，则GE=x，GF=3x，
∴BF=2GF=6x，
则

BF

EF

=

6x

2x

=3．

点评：本题考查了三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是关键．