Question

如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值；
（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为

 

，能构成等腰梯形的四个点为

 

或

 

或

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的判定与性质,等腰梯形的判定,垂径定理,圆内接四边形的性质

专题：综合题

分析：（1）由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO，由AO∥PD可得∠CPO=∠AOP，从而有∠APO=∠AOP，则有AP=AO．
（2）过点O作OH⊥AB于H，如图2．根据垂径定理可得AH=BH=6，从而可求出PH，在Rt△AHO中，运用勾股定理可求出OH，然后运用锐角三角函数的定义就可解决问题．
（3））①过点O作OH⊥AB于H，过点O作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3．易证△PQO≌△PHO，则有PQ=PH，OQ=OH，从而可证到Rt△OQC≌Rt△OHA（HL），则有QC=HA，从而可证到PC=PA=OA=OC，因而四边形PAOC是菱形．②连接OC、OB，如图4．由四边形PAOC是菱形可得OC∥PA，易证PC=OB，故四边形PCOB是等腰梯形．③连接OC、OD，如图5．同理可得梯形PAOD是等腰梯形．④连接OC、AC、BD，如图6．由四边形PAOC是菱形可得PA=PC，则有∠PAC=∠PCA．根据圆内接四边形的性质可得∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，从而有∠PAC=∠PDB=∠PCA=∠PBD，则有PD=PB，AC∥BD，易证CD=AB，故四边形ABDC是等腰梯形．

解答：（1）证明：如图1，

∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO．
∵AO∥PD，
∴∠CPO=∠AOP，
∴∠APO=∠AOP，
∴AP=AO．

（2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图2．

根据垂径定理可得AH=BH=

1

2

AB=6，
∴PH=PA+AH=AO+AH=10+6=16．
在Rt△AHO中，
OH=

OA2-AH2

=

100-36

=8，
∴tan∠OPB=

OH

PH

=

8

16

=

1

2

．
∴tan∠OPB的值为

1

2

．

（3）解：①过点O作OH⊥AB于H，过点O作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3．

在△PQO和△PHO中，

∠QPO=∠HPO ∠PQO=∠PHO=90° PO=PO

，
∴△PQO≌△PHO（AAS），
∴PQ=PH，OQ=OH．
在Rt△OQC和Rt△OHA中，

OQ=OH OC=OA

，
∴Rt△OQC≌Rt△OHA（HL），
∴QC=HA，
∴PC=PA，
∴PC=PA=OA=OC，
∴四边形PAOC是菱形．
②连接OC、OB，如图4．

∵四边形PAOC是菱形，∴OC∥PA．
∵PC∥OA，∴PC与OB不平行，
∴四边形PCOB是梯形．
∵PC=OA=OB，
∴梯形PCOB是等腰梯形．
③连接OC、OD，如图5．

∵四边形PAOC是菱形，
∴PA∥OC，
∴PA与OD不平行．
∵OA∥PD，
∴四边形PAOD是梯形．
∵PA=OA=OD，
∴梯形PAOD是等腰梯形．
④连接OC、AC、BD，如图6．

∵四边形PAOC是菱形，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
根据圆内接四边形的性质可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，
∴∠PAC=∠PDB=∠PCA=∠PBD，
∴PD=PB，AC∥BD，
∵CD与AB不平行，
∴四边形ABDC是梯形，
∵CD=PD-PC=PB-PA=AB，
∴梯形ABDC是等腰梯形．
故答案为：P、A、O、C；P、A、O、D；P、B、O、C；A、B、D、C．

点评：本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、勾股定理、锐角三角函数的定义、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强．