【题目】有一块含30°角的直角三角板OMN,其中∠MON=90°,∠NMO=30°,ON=2,将这块直角三角板按如图所示位置摆放.等边△ABC的顶点B与点O重合,BC边落在OM上,点A恰好落在斜边MN上,将等边△ABC从图1的位置沿OM方向以每秒1个单位长度的速度平移,边AB,AC分别与斜边MN交于点E,F(如图2所示),设△ABC平移的时间为t(s)(0<t<6).
(1)等边△ABC的边长为 ;
(2)在运动过程中,当 时,MN垂直平分AB;
(3)当0<t<6时,求直角三角板OMN与等边△ABC重叠部分的面积S与时间t之间的函数关系式.
【答案】(1)3;(2)3;(3).
【解析】
(1)根据,∠OMN=30°和△ABC为等边三角形,求证△OAM为直角三角形,然后即可得出答案.
(2)易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB,此时OB=3,由此即可解决问题;
(3)分两种情形分别求解:当0<t≤3时,作CD⊥FM于D.根据S=S△MEB﹣2S△MDC,计算即可.②当3<t<6时,S=S△MEB.
解:(1)在Rt△MON中,∵∠MON=90°,ON=2,∠M=30°
∴OM=ON=6,
∵△ABC为等边三角形
∴∠AOC=60°,
∴∠OAM=90°
∴OA⊥MN,即△OAM为直角三角形,
∴OA=OM=×6=3.
故答案为3.
(2)易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB,此时OB=3,所以t=3.
故答案为3.
(3)易知:OM=6,MN=4,S△OMN=×2×6=6,
∵∠M=30°,∠MBA=60°,
∴∠BEM=90°.
①当0<t≤3时,作CD⊥FM于D.
∵∠ACB=60°,∠M=30°,∠FCB=∠M+∠CFM,
∴∠CFM=∠M=30°,
∴CF=CM,
∵CD⊥FM,
∴DF=DM,
∴S△CMF=2S△CDM,
∵△MEB∽△MON,
∴,
∴S△MEB=,
∵△MDC∽△MON,
∴,
∴S△MDC=,
∴S=S△MEB﹣2S△MDC=﹣.
②当3<t<6时,S=S△MEB=,
综上所述,S= .
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【题目】央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注,某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查,对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅统计图:
请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:
(1)本次调查的总人数为 ,扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为 ;
(2)若该校共有学生1200人,请根据上述调查结果,估计该校学生选择D类的大约有多少人?
(3)在调查的A类4人中,刚好有2名男生2名女生,从中随机抽取两名同学担任两个角色,用画树形图或列表的方法求出抽到的两名学生性别相同的概率.
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【题目】如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0),B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2019的直角顶点的坐标为( )
A. (8076,0)B. (8064,0)C. (8076,)D. (8064,)
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【题目】如图,已知A,B是反比例函数y=(k>0,x>0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C,过P作PM⊥x轴,垂足为M.设三角形OMP的面积为S,P点运动时间为r,则S关于t的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
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【题目】有一块含30°角的直角三角板OMN,其中∠MON=90°,∠NMO=30°,ON=2,将这块直角三角板按如图所示位置摆放.等边△ABC的顶点B与点O重合,BC边落在OM上,点A恰好落在斜边MN上,将等边△ABC从图1的位置沿OM方向以每秒1个单位长度的速度平移,边AB,AC分别与斜边MN交于点E,F(如图2所示),设△ABC平移的时间为t(s)(0<t<6).
(1)等边△ABC的边长为 ;
(2)在运动过程中,当 时,MN垂直平分AB;
(3)当0<t<6时,求直角三角板OMN与等边△ABC重叠部分的面积S与时间t之间的函数关系式.
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【题目】为了解学生对博鳌论坛会的了解情况,某中学随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果记作“非常了解,了解,了解较少,不了解.”四类分别统计,并绘制了下列两幅统计图(不完整).请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了______名学生;扇形统计图中所在的扇形的圆心角度数为______;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有1600名学生,请你估计对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有多少人?
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【题目】(1)问题发现:如图1,在等边△ABC中,点D为BC边上一动点,DE∥AB交AC于点E,将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF,连接CF.则AE与FC的数量关系是 ;∠ACF的度数为 .
(2)拓展探究:如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,点D为BC边上一动点,DE∥AB交AC于点E,当∠ADF=∠ACF=90°时,求的值.
(3)解决问题:如图3,在△ABC中,BC:AB=m,点D为BC的延长线上一点过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E,直接写出当∠ADF=∠ACF=∠ABC时,的值.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠B=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,交AC于点D,其中DE∥OC
(1)求证:AC为⊙O的切线;
(2)若AD=,且AB、AE的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个实数根,求⊙O的半径、CD的长.
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【题目】如图,在边长4的正方形ABCD中,E是边BC的中点,将△CDE沿直线DE折叠后,点C落在点F处,冉将其打开、展平,得折痕DE。连接CF、BF、EF,延长BF交AD于点G。则下列结论:①BG= DE;②CF⊥BG;③sin∠DFG= ;④S△DFG=.其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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