Question

如图，在平面直角坐标系中，点O位坐标原点，等边△OAB的点B的坐标为（6，0），点A在第一象限，点P从A出发沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，同时点Q从O出发沿x轴也以每秒2个单位的速度向x轴负半轴运动，当点P停止时，点Q也随之停止，连接PQ，交边OA于点D．
（1）设点P，Q运动时间为t秒（0＜t＜3），AD=m，试求m与t的关系式；
（2）t为何值时，∠OQP=30°；
（3）在（2）的条件下，点A关于PQ对称的点为E，连接DE，试判断DE与OB位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等边三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）过P作PC∥OB，交OA于点C，易证∠CPQ=∠OPQ，即可证明△DOQ≌△DCP，可得OD=CD，即可解题；
（2）易证OQ=OD，即可求得t的值，即可解题；
（3）在（2）的结论下可以证明∠APD=90°，即可得△ADP≌△EDP，即可求得∠ADE=60°=∠AOB，即可解题．

解答：解：（1）过P作PC∥OB，交OA于点C，如图1，

则△ACP为等边三角形，
∴AC=AP=CP=2t，
∵PC∥OB，
∴∠CPQ=∠OPQ，
在△DOQ和△DCP中，

∠ODQ=∠CDP ∠CPQ=∠OQP OQ=CP=2t

，
∴△DOQ≌△DCP，（AAS）
∴OD=CD=

6-2t

2

=3-t，
∴m=CD+AC=3-t+2t=3+t；
（2）∵∠AOB=∠OQD+∠ODQ=60°，
∠OQP=30°，
∴∠ODQ=30°，
∴OQ=OD，即2t=6-2t，
∴t=

3

2

，
∴t=

3

2

 时，∠OQP=30°；
（3）过P作PC∥OB，交OA于点C，如图2，

∵∠CPD=∠OQD=30°，∠APC=60°，
∴∠APD=90°，即AP⊥PD，
∴E点位于AE上，且△ADP≌△EDP，
∴∠ADE=∠ADP+∠PDE=2∠ADP=60°，
∵∠AOB=60°，
∴DE∥OB．

点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DOQ≌△DCP是解题的关键．